“根号下1+X的平方”的原函数是什么？

Answer 1

对√(1+x^2)求积分

作三角代换,令x=tant

则∫√(1+x²)dx

=secttant+ln│sect+tant│--∫(sect)^3dt

所以∫(sect)^3dx=1/2（secttant+ln│sect+tant│）+C

从而∫√（1＋x^2） dx

=1/2（x√（1+x²）+ln（x+√（1+x²）））+C

如图所示

拓展资料：

原函数

原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

资料参考：原函数百度百科

Answer 2

令x=tan(t),t∈(-pi/2,pi/2),则根号(1+x^2)=sec(t),
∫根号(1+x^2)dx
=∫sec(t)d(tan(t))-----(令此积分为I)
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t))
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)]
=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I

所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C
I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C
={x根号(1+x^2)+ln[根号(1+x^2)+x]}/2+C
不定积分I即为所求原函数.