★请大家帮帮忙搜索有关初一数学一元一次方程的顺逆流问题★

Question

大家帮帮忙，我会追分的！

Answer 1

问题：

怎样寻找等量关系

解答:

列方程解应用题是初中代数的一个重点，也是一个难点。要突破这一难关，学会寻找等量关系是关键，那么怎样寻找应用题中的等量关系呢？

一、要善于分析问题中的不变量，并利用不变量来列方程

例1 一船航行于A、B两个码头之间，顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流的速度是4千米/小时，求这两个码头之间的距离。

分析1：很明显，这两个码头之间的距离是不变量，可据此列方程。为此，设船在静水中的速度为x千米/小时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/小时，逆水航行的速度为(x-4)千米/小时。由不变量得方程：3(x+4)=5(x－4)。(解略)

分析2. 不难看出，船在静水中的速度也是不变量，可据此列方程。为此，设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水时速为 千米，逆水时速为 千米。由不变量得方程： 。(解略)

二、要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到等量关系，从而列出方程

例2 某工人按原计划每天生产20个零件，到预定期限还有100个零件不能完成。若提高工效25％，到期将超额完成50个，问此工人原计划生产零件多少个？预定期限是多少天？

分析1：设原计划生产零件x个，则预定期限可用代数式表示为 天或 天。于是有方程：

＝ 。

分析2：设预定期限为x天，则提高工效后多完成的零件数可分别表示为 或100＋50，从而有：

。

从本例可见，所设的未知数不同，选择的等量关系不同，导致列方程与解方程也就有繁简和难易之分，只有设得巧，才能解得妙，同学们必须注意这个既影响解题速度又影响解题正确率的大问题。

三、要善于从问题的基本量中寻找相等关系

例3 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，需加水多少千克？

分析：这是浓度问题应用题，其基本量为溶质、溶剂、浓度，因此可利用溶质相等列方程，也可利用溶剂相等列方程，还可以利用浓度相等列方程。设需加水x千克，则

(1)根据加水前后的溶质——纯盐不变，得：

。

(2)根据加水后的溶剂——纯水重量，得：

。

(3)根据加水后盐水的浓度公式得：

。

四、要善于利用“总量等于各个分量之和”列方程

例4 某中学师生到离学校28千米的地方郊游。开始的一段路是步行，步行的速度是4千米/小时，余下的路程乘汽车，汽车的速度是36千米/小时，全程共用了1小时，求步行和汽车各用了多少时间。

分析：设步行所用的时间为x小时，则乘车时间为(1－x)小时，步行和乘汽车共走了28千米，可得方程：4x+36(1－x)=28。

例5 一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要60天。若先由甲队单独做16天，再由乙队单独做6天，余下的工程由甲、乙两队合做，还需要几天完成？

分析：设还需要x天才能完成，则甲、乙两队合做x天完成的工程量是 ，甲队已完成的工程量是 ，乙队已完成的工程量是 ，总工程量为1，则有方程： 。

常见问题2: 解数学应用题要学会触类旁通

问题：

解数学应用题要学会触类旁通

解答:

数学应用题是数学学习的一个难点。不少同学反映：应用题，老师一讲就会，可一做作业就不会。对数学应用题的解答，如何才能做到触类旁通呢？下面以初中《代数》第一册(上)217页的例3为例加以说明。

题目：甲、乙两站相距360km。一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 km；一列快车从乙站开出，每小时行驶72 km。(1)两列火车同时开出，相向而行，快车开了几小时与慢车相遇？(2)快车先开出25分钟，两车相向而行，慢车开了几小时与快车相遇？

这个例题是行程问题，其等量关系是：

(1)快车速度×时间＋慢车速度×时间＝甲乙两站距离；

(2)快车速度×快车时间＋慢车速度×慢车时间＝甲乙两站距离

请注意这两个等量关系的异同：(1)式是时间相同；(2)式是时间不同，它们遵循的共同规律是：距离＝速度×时间。学中类似的关系式还有：工作量＝工作效率×工作时间，溶质质量＝浓度×溶液质量，等等。握了这样的分析方法，许多应用题都可以顺利解决。

以下两道应用题可供练习：

1. 甲、乙二人共同加工360个零件，甲每小时加工48个，乙每小时加工72个。1)甲、乙二人需几小时完成任务？(2)若甲迟到25分钟开始加工，乙加工几小时二人可以完成任务？

2. 把纯酸360g稀释成甲、乙两种不同浓度的酸，已知甲的浓度为2％，乙的浓度为48％，甲比乙多25g。、乙两种酸各多少？

这两道题分别是工程题与溶液浓度问题，其解法与上述例题完全相同。

常见问题3: 一元一次方程应用1

问题：

从家里骑摩托车去火车站，如果每小时走30千米，那么比开车时间早到15分钟，如果每小时走18千米，那么比开车时间迟到15分钟，现在打算比开车时间早10分钟到达火车站，那么摩托车的速度应该是多少？

解答:

分析：行程问题中有相遇问题、追及问题、顺逆流问题、变速问题等．行程问题中的三个基本量是：路程、速度、时间．关系式是：路程=速度×时间．这个公式可变形为：速度= .此题求速度，就应该设法表示出从家到火车站的路程及从家到火车站所用的时间．若没从家中出发时离火车开车还有x小时.则家到火车站的路程是30（x一 ）千米或18（x+ ）千米，从家到火车站的时间是（x- ）小时．

解：设从家中出发时离火车开车还有x小时，则家到火车站的路程是30(x- )千米或18（x+ ）千米，提前10分钟到达的速度是 千米/小时

根据题意．得30（x- ）＝18（x+ ）

解这个方程，得x=1（小时）

= =27(千米/时)

答：若提前10分钟到达火车站，摩托车的速度应该是27千米/时．

注：解应用题设元（未知数）通常有两种：一是直接设元法，二是间接设元法本题是间接设元．

常见问题4: 一元一次方程应用2

问题：

一列慢车从某站开出，每小时行驶48km．过了一段时间，一列快车从同站开出与慢车同向而行，每小时行驶72km,又经过2．5小时追上了慢车问：快车开出前，慢车已行驶了多少时间？

解答:

分析：此题是教材《代数》第一册（上）217页例3与220页例4两题的结合产物题中利用了例3的已知条件和具体事物（快车和慢车），又涉及了例4中的追及问题．实际上它是例4的一种变式提问．相等关系是：

慢车行驶路程=快车行驶路程

解：设快车开出前慢车已行驶了x小时，根据题意，得：

48（x＋2.5）＝72×2.5

解这个方程，得x=1

答：快车开出前慢车已行驶了1 小时.

常见问题5: 一元一次方程应用3

问题：

一个容器装47升水，另一个容器装58升水．如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水相当于这个容器容量的一半；如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水相当于这个容器容积的 ，求两个容器的容量各是多少？

解答:

分析：由题意可知两个容器中共有水105升．若设第一个容器的容量是x升，那么第一次倒满第一个容器后，第二个容器中剩水应为(105-x)升，第二个容器的容积应该是2（105-x）升．第二次倒满第二个容器后，第一个容器中.剩水〔105-2（105-x）〕升或 升，相等关系是第一个容器中剩水的升数相等.

解：设第一个容器的容量是x升，则第二个容器的容量是2（105-x）升,根据题意，得

105-2（ 105-x）＝ x

解这个方程，得x=63

2（105-x）=2（105-63）-84

答：第一个容器的容量是63升，第二个容器的容量是84升.

注：解此题时，根据第一次假设列代数式，根据第二次假设列方程反之亦可．

常见问题6: 一元一次方程应用4

问题：

一个四位数的首位数字是7，如果把首位上的数字放在个位上，那么所得到的新的四位数比原来的四位数的一半多3，求原四位数是多少？

解答:

分析：解有关数字问题应用题时，关键是掌握数字的表示方法．如一个三位数的百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，这个三位数可记作： 100a＋ 10b＋ c，切不可记作abc，因为abc表示 a， b， c三个因式的积.如果设原四位数的后三位数为x，那么原四位数应记作7×1000+x，把首位数字放到个位后所得到的新数应记作10x＋7，相等关系是： ×原四位数=新四位数-3或原四位数=2×新四位数-6．

解：设原四位数的后三位数为x，则原四位数为7×1000+x.新四位数为10x＋7，根据题意得

(7×1000+x)=10x++7-3

解这个方程，得x=368

7×1000 +x＝ 7000＋ 368＝ 7368

答：原四位数是7368

常见问题7: 一元一次方程应用5

问题：

一条环形跑道长300米，甲、乙两人在跑道上练习跑步，甲每秒钟跑4米，乙每秒钟跑3.5米,两人同时同地出发,问:

（1）背向跑两人经几秒钟相遇？

（2）同向跑经几秒钟甲追上乙？

解答:

分析：第一小题较容易理解，为相遇问题，而第二小题要注意的是：甲跑得快，乙跑得慢，两人同时同地同向跑．甲应一直跑在乙前，而甲追上已是在甲比乙多跑一圈后，才能达到．所以，这是追及问题，此时甲、乙路程的差为一圈300米．

解：（1）设背向跑两人经x秒钟相遇，根据题意，得4x＋3.5x=300

解这个方程得 x=40

答：40秒钟两人背向跑相遇．

（2）设同向跑x秒钟甲追上乙，根据题意，得4x-3.5x=300

解这个方程，得x=600

答：600秒后甲追上乙．

常见问题8: 一元一次方程应用6

问题：

甲、乙、丙三个油箱，容积比为7：8：9，现在甲箱中有余油12千克，乙箱中有余油190千克，丙箱中有余油210于克，用380千克的油分别加入三个油箱，使三个油箱刚好注满，求向三个油箱所加的油分别是多少千克？

解答:

分析：本题可属比例分配问题，因为甲、乙、丙三个油箱的容积比为7：8：9，那么三个油箱装满油后，存油量之比为7x：8x：9x，可没间接未知数：甲、乙、丙三个油箱加满油后之存油量分别为7x，8x，9x．求出存油量后，再求存油量与余油之差可得解．

解：设甲、乙、丙三个油箱装满油后，存油量分别为:7x千克、8x千克、9x千克，根据题意得：

7x+8x+9x＝ 12＋190＋210+380

解这个方程得： x=33

∴ 7x-12＝ 7 × 33-12=219

8x-190=8 × 33-190=74

9x-210=9×33-210=87

答：应向甲箱加油219千克，乙箱加油74千克，丙箱加油87千克．

常见问题9: 一元一次方程应用7

问题：

某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比定货任务少1O0套，如果每天生产23套服装，就可超过订货任务20套，问这批服装的定货任是多少套?原计创几天完成？

解答:

分析：本题属于“盈不足”问题，抓住两个不变量来考虑相等关系：一个是这批服装的

定货量不会变;另一个是计划的天数不会变,设其中一个为未知数.则另一个用做相等关系.如果这批服装为x套,由第一个条件可知计划天数为 天,由第二个条件可得计划的天数为 天,所以可列方程为: = .

如果设计划天数x天，那么由第一个条件可得这批服装（20x＋100）套，由第二个条件可得这批服装有（23x-20）套，可列方程为：20x＋100=23x-20．

解:法一:设这批服装有x套,根据题意可得:

解这个方程得:x=900. =

答：这批服装共900套计划40天完成．

法二：设计划x天可完成任务，根据题意得：20x＋100=23x-20

解这个方程得：x=40 20×40+100=900．

答：这批服装共900套计划40天完成．

常见问题10: 一元一次方程应用8

问题：

某种商品按成本增加25％定价出售，后因库存积压需降价处理，如果每件商品仍想获得10％的利润，问降价处理时应按原定价的几折出售？

解答:

分析：某种商品的成本可看作1，那么定价为（1+25％）·1；降价出售仍想获利10％，那么实际上是在成本的基础上提高10％

解：设应按x折出售，根据题意，得（1+25％）x=1＋10％

解这个方程，得x=0.88

答：应按原定价的八八折出售．

注：在商业上，减价到原价的百分之几就叫做几折．例如标价1元的商品降价销售价为8角8分，则叫做“八八折”.

常见问题11: 一元一次方程应用9

问题：

甲商品的进价是150元，按标价200元的9折出售，乙商品的进价是1600元，按标价2200元的8折出售．两种商品哪种利润率更高些？

解答:

分析:本题的相等关系:

解：甲商品的利润率= = 20％

乙商品的利润率= =10％

答：甲种商品的利润率更高些．

参考资料：http://www.tjjy.com.cn/pkuschool/teacher/its/chu1/sx/1/4.4-3.htm