如何定义取余和取余运算？

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取余运算规则分为定义和符号、运算规则、取余的性质、取余的应用。

一、定义和符号：

取余运算用符号mod表示，也可以用符号remainder表示。它的操作对象是一个除数和被除数，运算结果是余数。

二、运算规则

取余运算的规则是：被除数=除数×商+余数，余数=被除数mod除数，其中，商是指被除数除以除数的商，余数是指不能整除的部分。例如，如果我们有一个数17，要除以3，那么商是5，余数是2，因为17=3×5+2。

三、取余的性质：

1、反身性：任何数mod n=0当且仅当它是n的倍数。即如果a mod n=0，那么a是n的倍数。

2、等价性：如果a mod n=b mod n，那么a和b是等价的，即在模n意义下是相等的。

3、传递性：如果a mod n=b，b mod n=c，那么a mod n=c。

4、周期性：如果一个数a在模n意义下有周期性，那么它的周期可以是n的因数。例如，在模75下，任何数最多可以有4个周期。

5、除法提升：如果a mod n=b，那么(a+k)mod n=b+k mod n。这个性质可以用来提升除法的结果。

四、取余的应用：

取余运算在计算机科学、信息论、密码学等领域都有广泛的应用。例如，在计算机科学中，取余运算可以用来实现循环移位、加密、解密等操作；在密码学中，取余运算可以用来实现散列函数、数字签名等操作；在信息论中，取余运算可以用来实现信息编码、数据压缩等操作。

取余运算是数学和计算机科学中非常重要的一个运算，它具有一些基本的规则和性质，可以用来解决很多实际问题。