关于被子里放球的概率问题，求解答

Question

将三个球随机放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率分别为多少？
将四只有区别的球随机放入编号为1-5的5个盒中（每盒容纳的球的数量不限）求：
（1）至多两个盒子有球的概率；
（2）空盒不多于2个地概率。

问：1.第一题中最大个数为2的概率如何计算？
2.求第二题的详细解答
3.希望能说明四只“有区别”的球和“有编号”的盒子对解题有什么影响？我做第1题的时候感觉用的方法是以它们“有区别”“有编号”来做的，答案是对的，不过复杂了点，想知道是不是如果球“没有区别”盒子“没有编号”会有简单一点的方法。

谢谢

Answer 1

第一题总共球的取法是4^3,其中有杯子里有2个球的情况有3×C(3,2)×3, 3代表3个杯子C(3,2)代表3个球里取2个的取法,最后个3代表剩余一个球的情况.除一下就得到答案是(3/4)^3.这里假设的是球不同杯子也不同的情况,可以涵盖球相同的情况.
第二题总共的放法是5^4种
(1)至多两个盒子有球的情况数为C(5,2)×2^4,其中C(5,2)表示5个盒子里选2个可以有球的盒子,2^4表示所有4个球都只能随意放在前面选的这2个盒子里.故(1)的答案是C(5,2)×2^4÷5^4
(2)空盒不多于2个,由于一共4个球5个盒子,所以要满足(2)的条件,空盒数量只能为1和2.
若空盒为1个,则放法为P(5,4)=5×4×3×2=5!
若空盒为2个,则放法为C(5,3)×P(4,3)×3,其中C(5,3)代表从5个盒子里取3个来放球,P(4,3)代表从4个球当中选3个分别放入3个盒子,使得3个盒子都非空,最后的3代表剩余的球可以随意放入3个盒子中的任何一个.故(2)的答案是C(5,3)×P(4,3)×3÷5^4
最后关于有编号和无编号的区别.这体现在用排列数还是组合数,即P还是C.有编号很多情况下需要考虑放入顺序和对应关系,举个直观点的例子,你把3个相同的球放到3个一样的箱子里,并且每个箱子放一个,那么总共只有一种情况,即为C(3,3).但如果是3个不同的球放到3个有编号的箱子里,结果就变为了P(3,3)=3!=6种情况.

望采纳
欢迎追问

追问

最后那里（2）的答案是不是应该吧空盒为1个时的结果加上去呢？那么此时的结果：
[C（3,5）x P（4,3）x3+5！]÷5^4 然后算出来是168/125 真是一头雾水啊，想来想去不知道哪里出错了，我用别的方法算也是一样的

追答

恩对的,打字打多给忘了,分子上把两种情况相加
分母不是125哦 是5的4次方625

追问

只是分子分母同时约掉了一个5啊

追答

我搞错了,有2个空盒子的情况不该乘以C(5,3),因为P(4,3)中已经包含了选择3个盒子这一步骤,所以答案是[P(4,3)x3+5!]÷5^4=192/625