急急急有关高一数学问题

Question

定义在R上的函数,对于任意的x,y属于R，总有f(x)+f（y）=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0，
f(1)= -2/3(负三分之二)
（1）求证，f(x)是R上的单调递减的奇函数
（2）求f(x)在区间[-3，3 ]上的最大值和最小值
小弟完全不知道怎么做 希望高手帮我解答得详细一点 越详细越好
十分感谢

Answer 1

1、
令x=y=0
则f(0)+f(0)=f(0)
所以f(0)=0

令y=-x,x+y=0
则f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数

f(x+y)-f(x)=f(y)
y=(x+y)-x
所以
f(x+y)-f(x)=f[(x+y)-x]
令x1=x+y,x2=x
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)

当x1>x2时
x1-x2>0
因为x>0时f(x)<0
所以f(x1-x2)<0
即f(x1)-f(x2)<0
所以x1>x2时f(x1)<f(x2)
所以f(x)是减函数

所以f(x)是R上的单调递减的奇函数

2、
减函数则f(-3)最大，f(3)最小
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)
所以f(3)=f(1)+f(1)+f(1)=-2
奇函数则f(3)=-f(3)=2
所以最大值是2，最小值是-2

Answer 2

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y= -x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.

设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵当x>0时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为减函数.

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)= -2/3，
令x=y=1，得f(2)= -4/3，
再令x=1，y=2，得f(3)= -2，∴f(-3)= -f(3)= 2，

∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-3，3]上为减函数，
最大值为f(-3)= 2，最小值为f(3)=-2.

Answer 3

1。证：f(x)+f（y）=f(x+y)
令x=y=0 知f（0）＝0
令y=-x 则f(x)+f（－x）=f(x+y)＝f(0)＝0
知f(－x)＝－f(x)
所以为奇函数
在设x1>x2,x1-x2>0
故f(x1)+f（-x2）=f(x1-x2)<0
知 f(x1)<f(x2)
证明了f（x）为单减奇函数
2。f（3）＝3f（1）＝－2＝最小值
f（－3）＝2＝最大值

Answer 4

（1）证明：
f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0,有f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0
再令y=-x有f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)
（2）
设x1>x2,即x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因为当x>0时，f(x)<0,所以
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以f(x)是R上的减函数