概率论与数理统计问题？

Question

随机投掷硬币100次，记正面朝上的次数为X，反面朝上的次数为Y，则随机变量X,Y的相关系数等于多少？ 答案是-1，为什么？

Answer 1

相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。于是，著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标--相关系数(Correlation coefficient)。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度;着重研究线性的单相关系数。

对于硬币投掷来说，非正则反。对于本题而言，x、y之间的关系为：

y=100-x

当x、y成一次函数关系时：

若Y=a+bX，

令E(X) = μ，D(X) = σ

则E(Y) = bμ + a，D(Y) = bσ

E(XY) = E(aX + bX) = aμ + b(σ + μ)

Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ

结合本题，取a=100，b=-1

解得σXY=-1