高一数学必修一函数单调性的题目（要过程）

Question

1、已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0时，f(x)的表达式。
2、已知Y=F(X)是奇函数，他在（0，正无穷）上是增函数，且F(X)<0试问F(x)=1/f（x）在（负无穷）上是增函数还是减函数？证明你的结论.
3、已知f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)-g(x)=x^2-x+2，求f(x)与g(x)的表达试。
4、若奇函数f(x)在定义域（-1，1）上是减函数，求满足f(1-m)+f(1-m^2)<0的实数m的取值范围。
5、设函数f(x)=x^2+|x-2|-1,x属于R。（1）判断f(x)的奇偶性：（2）求fx(的最小值
6、函数f(x)=x(ax=1)在R上为奇函数，则a=？

Answer 1

1，因为f(x)是奇函数，由f(x)=-f(-x),当x<0时，f(x)=x(2-x),因为x<0.所以(-x)>0,即f(-x)=-f(x)(x<0),得f(-x)=-x(2-x)(x<0),用y=-x代替得，f(y)=y(2+y),（y>0）即x>0时，f(x)=x(2+x)

2 F(x)是奇函数，且在大于0时是增函数，由F(x)=-F(-X),（也可以画图去理解，奇函数关于原点对称）很容易知道F(x)在小于0的情况下也是增函数，F(x)是增的，显然f(x)=1/F(x)是减函数。

3 由奇函数和偶函数的性质 在等式两边取-x带入得f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=(-x)*(-x)-(-x)+2=x*x+x+2,两个等式一联立就很容易求出来了...

4 不等式可以化为 f(1-m)<-f(1-m*m)又f(1-m)=-f(m-1),带入上式得f(m-1)>f(1-m*m),又函数替减，所以m-1<1-m*m,m(1+m)<0,得m<0。

5 f(-x)=x*x+|x-2|-1=f(x),所以为偶函数，，故f（x）的最小即为在x大于0时的最小值，当0<x<2时，f(x)=x*x-x+1=(x-0.5)(x-0.5)+3/4>=3/4,当x大于等于2时，最小值为3，当x为0时，f(0)=1,所以最小值为3/4

6 因为f(x)为奇函数，所以x的定义域要关于原点对称，由于ax=1,当a不为0时，x=1/a,所以只能取x=0.即a为无穷大，当a=0时，函数在R上没定义

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