变上限定积分函数，简称积分上限函数；证明积分上限函数求导定理

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1. 牛顿361、变上限定积分函数，简称积分上限函数；证明积分上限函数求导定理
2. 积分上限函数（Introduction to Integral Function with Variable Upper Limit, hereinafter referred to as "Integral Upper Limit Function"):
设函数y=f(x)在区间[a, b]上可积，且对任意x∈[a, b]，y=f(x)在[a, x]上可积，其值与x构成一种对应关系。我们称Φ(x)为变上限的定积分函数，简称积分上限函数。
若f(x)在[a, b]上的定积分存在，则称f(x)在[a, b]上可积。即f(x)是[a, b]上的可积函数。
3. 可积函数：在数学上，可积函数是指存在积分的函数。
4. 定理：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则积分上限函数Φ(x)=∫[a, x]f(t)dt在[a, b]上可导，并且Φ'(x)=f(x)。
5. 证明：对于任意给定的x∈[a, b]，给x以增量△x，使得x+△x∈[a, b]。根据导数定义，得：
Φ'(x) = lim(△x→0)[Φ(x+△x)-Φ(x)]/△x
由Φ(x)的定义及定积分对区间的可加性，有：
Φ(x+△x)-Φ(x) = ∫[a, x+△x]f(t)dt - ∫[a, x]f(t)dt = ∫[x, x+△x]f(t)dt
再由定积分中值定理，得：
△Φ(x) = ∫[x, x+△x]f(t)dt = f(ξ)△x，其中ξ∈[x, x+△x]
根据定积分中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则在积分区间[a, b]上至少存在一个点ξ，使得∫[a, b]f(x)dx = f(ξ)(b-a)。
因此，Φ'(x) = lim(△x→0)△Φ(x)/△x = lim(△x→0)f(ξ)△x/△x = lim(△x→0)f(ξ) = f(x)
这个定理说明，任何连续函数都有原函数存在，且积分上限函数Φ(x)=∫[a, x]f(t)dt就是f(x)在[a, b]上的一个原函数。
上述定理也称为原函数存在定理。