如图，已知二次函数y=-x2+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的

Question

如图，已知二次函数y=-x2+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x1+x2）-x1x2=10．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

（1）由根与系数的关系，得

x  1 + x  2 =m x  1 x  2 =-4m.

∵（x₁+x₂）-x₁x₂=10，
∴m+4m=10，m=2．
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+8．

（2）由-x²+2x+8=0，解得x₁=-2，x₂=4．
y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9．
∴B，C，M的坐标分别为B（4，0），C（0，8），M（1，9）．

（3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3．
∵OH=t（1＜t＜4），∴BH=4-t．
由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），
∴S=

1

2

（PH+CO）?OH
=

1

2

（12-3t+8）t
=-

3

2

t²+10t（1＜t＜4）．
S=-

3

2

t²+10t=-

3

2

（t-

10

3

）²+

50

3

．
∵1＜

10

3

＜4．
∴当t=

10

3

时，S有最大值，其最大值为

50

3

．