概率与统计问题 急

Question

袋中装有1个黑球和n-1个白球，每次从中随机摸出一球，并放入白球，连续进行，问第K次摸到白球的概率？

Answer 1

因为原先只有1个黑球，所以分两种情况：

1.前k-1次都没摸出黑球，袋中始终保持1黑球n-1白球，第k次也摸到白球，
相应概率为: ((n-1)/n)^k

2.前k-1次摸取中，某次摸出了黑球，换成了白球，于是第k次必摸出白球，
相应概率为，前k-1次至少摸到一次黑球的概率，即1减去全摸白球的概率：
1-((n-1)/n)^（k-1）

二者相加即为所求概率：
((n-1)/n)^k+1-((n-1)/n)^（k-1）
=1-[（n-1)^(k-1)/n^k]

Answer 2

分两种情况：放回和不放回。
情况1：放回，则总的球数有：n+k-1个（注：不是n+k） ，此时白球有n-1+(k-1)，无论前面取得是什么，第k次取得白球的概率是：（n+k-2）/（n+k-1）；
情况2：不放回，这种情况下一旦在k次之前摸到过黑球，那么后面肯定都是白球。
所以：从反面来看，第k次摸到黑球的概率是：((n-1)/n)* ((n-1)/n)* ...((n-1)/n)*（1/n）=((n-1)/n)* ^(k-1)*(1/n)，所以摸到白球的概率是1-((n-1)/n)* ^(k-1)*(1/n)

Answer 3

以下是粗略的分析，再说一遍，是粗略的。
因为考虑到是人在猜数，而且是面向普通玩家，而不是专门研究算法的，所以n应该比较小，不然人的耐心就耗尽了，没几人能玩下去；另外绝大多数人都不会反复去优化复杂解法，只是逐步简化。
基于以上情况，做以下分析：
以下以“正确”表示字母存在且位置正确，“半对”表示字母存在但位置不正确，“错误”表示字母不存在。
每猜一次，其中的一位被正确猜中的几率是1/26，错误的几率是1-n/26，所猜n个字母全错的几率是(1-n/26)^n，如此猜测k次全错的几率为(1-n/26)^(n+k)，一旦出现半对的情况，则再用n/2次即可准确确定n个字母中的一个。阶段性小结一下就是：经过n/2+k次猜测，有1-(1-n/26)^(n+k)的几率准确完成一个字母，依此推算后续n-1个字母、n-2个字母的情况，当然这里忽略了在完成n字母中第一个字母时，已经为后续字母提供了一些有用的信息。
建议题主简单估算一下，设定一个初值，然后借鉴贝叶斯方法，来根据实际运行情况对游戏的参数做微调，甚至分级。例如5个字母，先设置为猜20次，发现只有10%的玩家完成游戏，而你希望的是有30%的玩家能通过游戏，于是把可尝试次数增加到28次，如此逐步优化参数，比精确计算更具有实际意义