如何判断函数的局部极值、最大值和最小值？

Answer 1

极值的三个充要条件是：函数在该点可导，一阶导数为零，二阶导数为正负。

1.极值点的必要条件：

可导性：函数在极值点附近必须是可导的，即函数在该点存在定义并且斜率有限。这是因为极值点是函数图像上的拐点，要求函数图像在该点附近是光滑的。

一阶导数为零：函数在极值点的一阶导数为零，即切线与x轴重合或平行。这是因为切线的斜率代表了函数的增减趋势，而极值点处切线的斜率为零，表示函数在该点的增减趋势发生了改变，从上升变为下降或从下降变为上升。

二阶导数为正负：函数在极值点的二阶导数必须存在且符号相反，即函数曲线在该点的弯曲方向发生了改变。当二阶导数大于零时，函数曲线在该点处向上凸起，表示函数由减小转为增大；当二阶导数小于零时，函数曲线在该点处向下凹陷，表示函数由增大转为减小。

2.极值点的充分条件：

驻点性质：如果函数在极值点附近满足一阶导数为零且二阶导数存在，那么该点就是极值点。这是因为一阶导数为零意味着函数的增减趋势发生了改变，而二阶导数的存在保证了函数曲线弯曲方向的改变，从而确定了极值的位置。

二阶导数的正负：根据二阶导数的正负可以确定极值的类型。当二阶导数大于零时，极值点为局部极小值；当二阶导数小于零时，极值点为局部极大值。

3.极值点的判定方法：

求解导数：通过求解函数的一阶导数，找出一阶导数为零的点，即可能的极值点。

二阶导数的符号：计算一阶导数对应的二阶导数，并确定其符号。若二阶导数大于零，则该点为极值点的候选；若二阶导数小于零，则排除该点。

极值点的类型判断：根据二阶导数的符号判断极值点的类型，即局部极小值或局部极大值。