对坐标的曲线积分问题

Question

计算∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx / x^2+y^2-2x+2y ,其中L为圆周（x-1)^2 + (y+1)^2 =4正向
答案：4派

Answer 1

1. 使用参数法。
令(x-1)/2=cost,(y+1)/2=sint,得：
x=1+2cost,y=-1+2sint,dx=-2sintdt,dy=2costdt,代入积分式得：
∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx/(x^2+y^2-2x+2y)
=∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx/[(x-1)²+(y+1)²-2]
=(下限0，上限2π)∫[4(cost+sint)cost-4(1+cost-sint)sint]dt/(4-2)
=(下限0，上限2π)∫2(1-sint)dt=4π
2. 使用格林理论。
∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx/(x^2+y^2-2x+2y)
=∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx/[(x-1)²+(y+1)²-2] ...由于圆周是(x-1)²+(y+1)²=4。在圆的周边线上积分时，上面分母中的(x-1)²+(y+1)²=4。所以：
∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx/[(x-1)²+(y+1)²-2]
=∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx/(4-2)
=(1/2)∫(L) (x+y)dy+(x-y)dx
使用格林理论将上面的线积分转化为面积分：
=(1/2)∫∫(S)[∂(x+y)/∂x-∂(x-y)/∂y]dxdy
=(1/2)∫∫(S)(1+1)dxdy=(1/2)∫∫(S)(2)dxdy
=∫∫(S)dxdy
上面的面积分积分就是这个圆的面积。由于这个圆的半径是2，所以，其面积为πr²=π2²=4π。