高数微分到底是什么意思啊?

Answer 1

在数学中，微分是对函数局部变化率的一种线性描述。它能近似描述函数值随自变量微小变化的改变方式。解决画图法斜率误差问题而产生。以y=x^2为例，求(3,9)点斜率，通过假设另一点(3 δx,9 δy)并计算得到δy/δx=6 δx，当δx接近0时，斜率趋近于6。对任意x值，利用δy/δx=2x δx，可知斜率为2x。微分记为dy/dx=m，是函数增量的主要部分，为自变量增量的线性函数。

微分应用于函数的线性化，用于近似计算。当自变量改变为X △X时，函数f(X)相应变化为f(X △X)，存在常数A，使得f(X △X)-f(X)与A·△X之差是关于△X的高阶无穷小，A·△X即函数在点X的微分，记为dy。多项式函数微分通过合并同类项和应用基本公式实现。当函数为单项式y=ax^n时，其微分为dy/dx=anx^(n-1)。多项式函数的微分通过分项求微分并加减。

使用连锁律可以简化复杂函数的微分，例如求(y^n)的微分，设y=f(x)，则dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)。通过分解函数，应用乘法法则，如(uv)的微分为u(dv/dx) v(du/dx)。对于形如u√v的函数，微分公式为[(u/2)(dv/dx) v(du/dx)]/(√v)。在微分分式时，应用除法法则，即d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2)。

基本微分法则包括：d/dx[f(x)]=f'(x)，d/dx(ax^n)=anx^(n-1)，d/dx(ax)=a，d/dx(a)=0，d/dx(ax^m bx^n)=amx^(m-1) bnx^(n-1)。这些法则用于简化和解决复杂的微分问题。

微分概念在解决直与曲的矛盾中产生，通过在函数曲线局部使用直线近似替代曲线，实现函数的线性化，方便计算。微分提供了数值近似计算的基本思想。通过学习基本公式、法则以及应用，可以解决大部分常见初等函数的微分问题。