如何证明函数的极限

Answer 1

函数的极限的证明如下：

1.利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）如果是初等函数，且点在定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。

2.利用有理化分子或分母求函数的极限a，若含有，一般利用去根号b。

3.利用两个重要极限求函数的极限。

4.利用无穷小的性质求函数的极限性质

①有界函数与无穷小的乘积是无穷小性质

②常数与无穷小的乘积是无穷小性质

③有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小

知识拓展：

1.函数的极限的性质

（1）函数极限的唯一性

若limf(x)存在,则极限唯一。以上性质的证明与数列极限的性质类似。

（2）函数极限的局部有界性

若在某个过程下,f(x)有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后f(x)有界。

（3）函数极限的局部保号性

（4）函数极限的保序性

（5）函数极限的迫敛性

2.函数极限的概念

函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的函数极限证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

以x→Xo的极限为例，f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

3.函数极限的定义

设函数y=f（x）在点X0的某个去心领域中有定义，即存在ρ>0，使O（X0，ρ）\{X0}。

如果存在实数A，对于任意给定的ε>0，可以找到δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，成立│f(x)-A│<ε,则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞)。

例：y=1/x，x→+∞时极限为y=0

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。

极限符号可记为lim