数学问题: 集合的特征函数有什么用?

Question

例如， 有理数的特征函数f(x)={如果x是有理数,则f(x)=1//否则f(x)=0}

问题是，集合的特征函数有什么实际的用途吗?
还请高手举一两个具体的例子，概念有时候太抽象无法真的理解。谢谢!!!!!

Answer 1

看来你对函数概念确实不理解
特征函数是对抽象函数而言的。它是具体函数的特殊例子。或者说，一些具体函数抽象出共同特征就得到抽象函数。
例如f(xy)=f(x)+f(y)的特征函数是对数函数。

有些材料中，把一些具体的函数抽象出的共同性质，得到的抽象函数叫特征函数，正好与上面相反。

你提到的例子就是一个具体函数了。它规定函数的取值规律已经很明确。无法距离了啊。

Answer 2

有的。。在应用数学中会用到，比如统计。

例：今年山东省二批次录取结束，今得到一份一志愿投档分布表，要求统计投多院校的比例（“投出数>计划数”的比例）

则该特征函数f(x)={如果投出数>计划数，则f(x)=1/否则f(x)=0}

在结合“有无计划”的特征函数g(x)={如果某高校在山东有招生计划，则g(x)=1/否则g(x)=0}

则例子中所求的数为card(f(x))/card(g(x))

这个函数在伯努力分布（概率）和计算机领域也有出现。。

Answer 3

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．