勾股定理

Question

1.写勾股定理的由来。
2.勾股定理的验证。
3.勾股定理的应用。
4.勾股定理在解决数学问题的重要作用。

Answer 1

．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明．

2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力．

3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．

教学重点与难点

重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用．

教学过程设计

一、激发兴趣引入课题

通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．

二、勾股定理的探索，证明过程及命名

1．猜想结论．

勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.

教师用计算机演示：

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b和 c， ∠ACB＝ 90°，使△ABC运动起来，但始终保持∠ACB＝90°，如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等．

（2）在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约7～8个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想．

（3）对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证．

2．证明猜想．

目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3－151）来进行证明．

3．勾股定理的命名．

我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？

（1）介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载；

（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；

（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．

三、勾股定理的应用

1．已知直角三角形任两边求第三边．

例 1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．

（1）a＝ 6，b＝8求c及斜边上的高；（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15 ，＝25求 a；(4)a:b＝3:4,c＝15,求b．

说明：对于（1），让学生总结基本图形（图3－153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题．

教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3）．

例2求图3－152所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0．lmm）．

教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影．

练习 1投影显示： （1）在等腰 Rt△ABC中， ∠C＝90°， AC:BC:AB＝__________；

（2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°，∠A= 30°，则BC:AC:AB＝___________；若AB＝8,则AC＝_____________；又若CD⊥AB，则CD=______________.

（3）等边出△ABC的边长为 a，则高AD＝__________，

S △ABC＝______________

说明：

（1）学会利用方程的思想来解决问题．

（2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论：

①等腰直角三角形三边比为1:1:；

②含30°角的直角三角形三边之比为1::2；

③边长为a的等边三角形的高为a，面积为

（板书）例 3 如图 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，△DAC＝ 90°．求 BD的长．

分析：

（1）分解基本图形，图中有等腰△ABC和

Rt△ADC；

（2）添辅助线——等腰△ABC底边上的高

AE，同时它也是Rt△ADC斜边上的高；

（3）设BD为X．利用图3－153中的基本关系，

通过列方程来解决．教师板书详细过程．

解 作AE⊥BC于E．设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2．

∴2×202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.

2．利用勾股定理作图．

例4 作长为的线段．

说明：按课本第101页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长．

3．利用勾股定理证明．

例5 如图3-155，△ABC中，CD⊥AB于D，AC>BC.

求证：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）．

分析：

（1） 分解出直角三角形使用勾股定理．

Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2；Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2．

（2） 利用代数中的恒等变形技巧进行整理：

AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2）

=AD2-BD2

＝（AD+BD）（AD-BD）

＝AB（AD-BD）．

例6 已知：如图3-156，Rt△ABC,∠ACB=90°,D为BC中点，DE⊥AB于E，求证：AC2=AE2-BE2．

分析：添加辅助线———连结AD，构造出两个新直角三角形，选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证明．

4．供选用例题．

（1） 如图3-157，在Rt△ABC中 ,∠C=90°，∠A=15°，BC=1．求△ABC的面积．

提示：添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决，或直接在∠ABC内作∠ABE=15°，交CA边于E．

（2） 如图3-158，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8．求AC边的长．

分析：添加辅助线——作CD⊥AB于D，构造含45°，30°角的直角三角形列方程解决问题．

（3）如图3-159（a），在四边形ABCD中，∠B=

∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求AB，CD．

提示：添加辅助线——延长BA，CD交于E，构造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它们的性质来解决问题（见图3-159（b））.或将四边形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形来解决问题．（见图3-159（c））

答案：AB=23-2，CD=4-3．

（4）已知：3-160（a）,矩形ABCD．（四个角是直角）

①P为矩形内一点，求证PA2＋ PC2＝ PB2＋ PD2

②探索P运动到AD边上（图3－160（b））、矩形ABCD外(图3－160（C））时，结论是否仍然成立．

分析：

（1）添加辅助线——过P作EF⊥BC交AD干E，交BC于F．在四个直角三角形中分别

使用勾股定理．

（2）可将三个题归纳成一个命题如下：

矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等．

四、师生共同回忆小结

1．勾股定理的内容及证明方法．

2．勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.

3．利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段

长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理．

五、作业

1． 课本第106页第2～8题．

2．阅读课本第109页的读一读：勾股定理的证明．

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成．

1．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．本教学设计利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法．

2． 各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课．

（1）复习三角形三边的关系，总结出规律：较小两边的和大于第三边．

（2）引导学生类比联想：较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？

（3）举出三个事例（见图3－161（a）（b）（ c））．

对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小两边的平方和等于第三边的平方．

（4）用教具演示图3－151，验证对直角三角形所做的猜想．

教学目的：1、会阐述勾股定理的逆定理
2、会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形
3、能正确、灵活的应用勾股定理及勾股的逆定理

教学重点：勾股定理逆定理的应用

教学难点：勾股定理逆定理的证明

教学方法：讲练结合

教学过程：
一、复习提问
1、 勾股定理的文字语言
2、 勾股定理的几何符号语言
3、 勾股定理的作用
4、 填空：已知一直角三角形的两边是5和12，则第三边的长是 。
二、导入新课
勾股定理是一个命题，任何命题都有逆命题，它的逆命题是什么？
三、讲解新课
勾股定理的逆定理的文字语言：如果三角形的三边长：a、b、c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
命题有真假之分，它是否为真命题，首先必须证明。
已知：在ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2
求证：∠C=90º
分析：证明一个角为90º，可以证AC⊥BC
也可以利用书本上的方法证明，自学

通过证明，勾股定理的逆命题是个真命题，即勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理的几何符号语言：在ΔABC中∵ a2+b2=c2 （或c2－a2 = b2 ）
∴∠C=90º（勾股定理的逆定理）
强调：只要满足上述关系，它必定是直角三角形，且较长的边是斜边，它所对的角是直角。

例如：三边长分别为3、4、5，能否组成直角三角形，5、12、13呢？9、40、41呢？
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）
书本102—103页，划出定义，完成作业103页1、3
例1 ΔABC的三边分别为下列各组值，能组成直角三角形的打“√”，并指出哪个是直角，否则打“×”
⑴a=1、b= 、c=1
⑵a=1.2、b=1.6、c=2
⑶a:b:c=2: :2
⑷a=n2-1、b=2n、c= n2+1(n＞1)
⑸a=2n2+1、b=2n2+2n、c=2mn(m＞n)m、n为正整数
解⑴ ∵12+12=（ ）2 ∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑵ ∵22-1.62=(2+1.6)(2-1.6)=1.44=（1.2）2
∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑶⑷⑸解略。
强调：对于数字较大，可以利用平方差公式，达到简便运算。

例2 已知：如图，AD=3，AB=4，∠BAD=90º，BC=12，CD=13，
求四边形ABCD的面积.

分析：连结BD，求出BD=5，

∵BD2+BC2=CD2 ∴∠CBD=90º

∴四边形ABCD的面积=ΔABD的面积+ΔBD的面积
解：略

例2 已知：如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD2•BD
求证：ΔABC是直角三角形
分析：要证ΔABC是直角三角形
只要证AC2+BC2=AB2
在RtΔACD中，∵∠ACD=90º
∴AC2=AD2+CD2
同理可证，BC2=CD2+BD2
∴AC2 + BC2 = AD2+2 CD2+BD2
=（AD+BD）2
∴ΔABC是直角三角形
请学生自己完成证明过程。

Answer 2

[编辑本段]勾股定理
勾股定理:
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定古埃及人利用打结作RT三角形理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
来源：
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
有关勾股定理书籍
《数学原理》人民教育出版社
《探究勾股定理》同济大学出版社
《优因培教数学》北京大学出版社
《勾股模型》 新世纪出版社
《九章算术一书》
《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
[编辑本段]最早的勾股定理
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图

设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米
∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。
[编辑本段]《周髀算经》简介
青朱出入图
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成玹方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。
以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c2 ）．由此便可证得a2+b2=c2
[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如下:
解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
则说明斜边为5。
勾股定理的种证明方法（部分）
【证法1】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.
即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴ .
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90º，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90º，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（赵浩杰证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90º，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90º,
∴∠ABG +∠CBJ= 90º,
∵∠ABC= 90º,
∴G,B,I,J在同一直线上，
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法8】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即 .

Answer 3

Answer 4

什么是勾股定理呢