以、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．下面提法中，正确的是（）
A．每个定理必有逆定理
B．每个命题必有逆命题
C．真命题的逆命题必真
D．假命题的逆命题必假
2．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，则这点一定是三角形的（）交点。
A．三边中垂线
B．三条中线
C．三条高
D．三内角平分线
3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若AB=2，则△ABC的面积是（）
A．1
B．2
C．4
D．
4．如右图：△ABC，∠ACB=90°AF平分∠BAC交BC于F，CE⊥AF于E交AB于D，连结DF，若∠B=30°，则图形中共有（）个等腰三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若①2， ， ；② ， ， ；③ ， ，1，都是三角形三边的长，则这三个三角形（）直角三角形。
A．都是
B．都不是
C．只有一个是
D．只有一个不是
二、填空题（每题6分，共30分）
1．等腰三角形有两边长为3和7，则周长是______。
2．等腰三角形有一个角是40°，则顶角的度数是_______。
3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，则BC=_______，AC=_______。
4．如右图：△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线交AB、BC于D、E，①若∠CAE=20°，则∠B=_______；②若ED=EC，则∠B=______。
5．如下图：△ABC中，D是BC上一点，若AB=AC=CD，DB=DA。则∠BAC=______度。
三、作图。（6分）只画图，不写作法。
如右图，作△ABC关于直线MN的对称图形。
四、计算题（12分）
已知：如图△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，AB=17，AD=10，BD=9。
求AC的长。
五、证明题（每题11分，共22分）
1．已知：如图△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD⊥AC于D，∠ABE=∠CBE。求证：BE=2DE。
2．已知：如图∠1=∠2，DE=DC，EF=AC。求证：EF//AB。
选作题
1．已知：如图△ABC中，AD⊥BC，BE=CE， 。求证：∠B=2∠C
2．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AM⊥AD交直线BC于M，若∠BAC=33°，BM=AB+AC。试求∠ABC的度数。
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．C 5．A
二、填空题
1．17
2．40°或100°
3．1，
4．①35°；②30°
5．108
三、作图
四、计算题
解：∵∠C=90°
∴
∵AB=17，AD=10，BD=9
∴
∴
∴18DC=108
∴DC=6
∴
∴
答：AC的长为8。
五、证明题
1．证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=20°
∴∠ABC=80°
∵∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=40°
∵BD⊥AC
∴∠ABD+∠A=90°
∴∠ABD=70°
∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=30°
∵BD⊥AC
∴BE=2DE（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）
2．
证明：延长FD到M，使DM=FD，连接CM
在△CMD和△EFD中
∵DM=FD，∠MDC=∠FDE，CD=DE
∴△CMD≌△EFD（SAS）
∴∠M=∠3，CM=EF
∵EF=AC
∴CM=AC
∴∠2=∠M=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴EF//AB（同位角相等两直线平行）
选择题
1．
证：延长CB到F，使BF=AB，连结AF，则∠1=∠F
∴∠ABC=∠1+∠F=2∠F
∵
∴DF=BD+BF=BD+AB=BD+2DE=BD+DE+DE=BE+DE=EC+DE=DC
∵AO⊥BC
∴AF=AC
∴∠C=∠F，
∴∠ABC=2∠C
即∠B=2∠C
2．
解：符合条件的图形有两种。（1）如图（一），M在BC延长线上
延长BA到N，使AN=AC，连接MN，
∵AM⊥AD
∴∠2+∠3=90°
∵∠1+∠2∠+∠3+∠4=180°
∴∠1+∠4=90°
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∵AN=AC，∠4=∠3，AM=AM，
∴△AMN≌△AMC
∴∠N=∠ACM
∵AB+AC=BM
∴BM=AB+AN=BN
∴∠BMN=∠N=∠ACM
∵∠BMN+∠N+∠B=180°
∴∠B=180°-2∠BMN=180°-2∠ACM
∵∠ACM=∠B+∠BAC，∠BAC=35°
∴∠B=180°-2∠B-66°
∴3∠B=114°
∴∠B=38°
（2）
如图二，M点在CB延长线上，延长BA到N，使AN=AC，连结MN
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵AM⊥AD
∴∠MAD=90°
∴∠MAC=∠MAD+∠2=90°+∠1，
∠MAB=90°-∠1
∵∠MAN+∠MAB=180°
∴∠MAN=180°-90°+∠1=90°+∠1
∴∠MAN=∠MAC
∵AN=AC，∠MAN=∠MAC，AM=AM
∴△MAN≌△MAC
∴∠N=∠C
∵BM=AB+AC=AB+AN=BN
∴∠BMN=∠N=∠C
∴∠ABC=∠BMN+∠N=2∠C
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴
∴∠ABC=98°
1．下面提法中，正确的是（）
A．每个定理必有逆定理
B．每个命题必有逆命题
C．真命题的逆命题必真
D．假命题的逆命题必假
2．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，则这点一定是三角形的（）交点。
A．三边中垂线
B．三条中线
C．三条高
D．三内角平分线
3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若AB=2，则△ABC的面积是（）
A．1
B．2
C．4
D．
4．如右图：△ABC，∠ACB=90°AF平分∠BAC交BC于F，CE⊥AF于E交AB于D，连结DF，若∠B=30°，则图形中共有（）个等腰三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若①2， ， ；② ， ， ；③ ， ，1，都是三角形三边的长，则这三个三角形（）直角三角形。
A．都是
B．都不是
C．只有一个是
D．只有一个不是
二、填空题（每题6分，共30分）
1．等腰三角形有两边长为3和7，则周长是______。
2．等腰三角形有一个角是40°，则顶角的度数是_______。
3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，则BC=_______，AC=_______。
4．如右图：△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线交AB、BC于D、E，①若∠CAE=20°，则∠B=_______；②若ED=EC，则∠B=______。
5．如下图：△ABC中，D是BC上一点，若AB=AC=CD，DB=DA。则∠BAC=______度。
三、作图。（6分）只画图，不写作法。
如右图，作△ABC关于直线MN的对称图形。
四、计算题（12分）
已知：如图△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，AB=17，AD=10，BD=9。
求AC的长。
五、证明题（每题11分，共22分）
1．已知：如图△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD⊥AC于D，∠ABE=∠CBE。求证：BE=2DE。
2．已知：如图∠1=∠2，DE=DC，EF=AC。求证：EF//AB。
选作题
1．已知：如图△ABC中，AD⊥BC，BE=CE， 。求证：∠B=2∠C
2．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AM⊥AD交直线BC于M，若∠BAC=33°，BM=AB+AC。试求∠ABC的度数。
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．C 5．A
二、填空题
1．17
2．40°或100°
3．1，
4．①35°；②30°
5．108
三、作图
四、计算题
解：∵∠C=90°
∴
∵AB=17，AD=10，BD=9
∴
∴
∴18DC=108
∴DC=6
∴
∴
答：AC的长为8。
五、证明题
1．证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=20°
∴∠ABC=80°
∵∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=40°
∵BD⊥AC
∴∠ABD+∠A=90°
∴∠ABD=70°
∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=30°
∵BD⊥AC
∴BE=2DE（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）
2．
证明：延长FD到M，使DM=FD，连接CM
在△CMD和△EFD中
∵DM=FD，∠MDC=∠FDE，CD=DE
∴△CMD≌△EFD（SAS）
∴∠M=∠3，CM=EF
∵EF=AC
∴CM=AC
∴∠2=∠M=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴EF//AB（同位角相等两直线平行）
选择题
1．
证：延长CB到F，使BF=AB，连结AF，则∠1=∠F
∴∠ABC=∠1+∠F=2∠F
∵
∴DF=BD+BF=BD+AB=BD+2DE=BD+DE+DE=BE+DE=EC+DE=DC
∵AO⊥BC
∴AF=AC
∴∠C=∠F，
∴∠ABC=2∠C
即∠B=2∠C
2．
解：符合条件的图形有两种。（1）如图（一），M在BC延长线上
延长BA到N，使AN=AC，连接MN，
∵AM⊥AD
∴∠2+∠3=90°
∵∠1+∠2∠+∠3+∠4=180°
∴∠1+∠4=90°
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∵AN=AC，∠4=∠3，AM=AM，
∴△AMN≌△AMC
∴∠N=∠ACM
∵AB+AC=BM
∴BM=AB+AN=BN
∴∠BMN=∠N=∠ACM
∵∠BMN+∠N+∠B=180°
∴∠B=180°-2∠BMN=180°-2∠ACM
∵∠ACM=∠B+∠BAC，∠BAC=35°
∴∠B=180°-2∠B-66°
∴3∠B=114°
∴∠B=38°
（2）
如图二，M点在CB延长线上，延长BA到N，使AN=AC，连结MN
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵AM⊥AD
∴∠MAD=90°
∴∠MAC=∠MAD+∠2=90°+∠1，
∠MAB=90°-∠1
∵∠MAN+∠MAB=180°
∴∠MAN=180°-90°+∠1=90°+∠1
∴∠MAN=∠MAC
∵AN=AC，∠MAN=∠MAC，AM=AM
∴△MAN≌△MAC
∴∠N=∠C
∵BM=AB+AC=AB+AN=BN
∴∠BMN=∠N=∠C
∴∠ABC=∠BMN+∠N=2∠C
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴
∴∠ABC=98°
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