设fx有连续导数

Question

设函数f(x)有连续导数，证明：在f(x)的任意两个相邻的零点之间方程f(x)+f'(x)=0至少有一个实根。

Answer 1

设这两个相邻的零点为x1，x2.
则x1<x<x2时，总有f(x)>0或f(x)<0 （否则零点必不相邻）
不妨设f(x)>0,
则f'(x1)≥0 若不然，假设f'(x1)<0
则有f'(x1+)<0 ,即lim (f(x)-f(x1))/(x-x1) <0 x->x1+
=>f(x)<f(x1)=0 （当然你可以用ε-δ语言严格证明，这个不难）
这与f(x)>0不符。从而
f'(x1)≥0 同理 f'(x2)≤0
若f‘(x1)=0 那么f(x1)+f'(x1)=0+0=0 即为所求
同样f’(x2)=0的情况也是这样。
若f'(x1)>0 且 f'(x2)<0
设g(x)=f(x)+f'(x) ，它是连续函数且 g(x1)<0, g(x2)>0
故一定存在ξ∈(x1,x2)使得 g(ξ)=0
ξ 即为所求

Answer 2

∵f(a)=f(b)=0 且ab为相邻的零点，且f(x)有连续导数
∴f'(a)*f'(b)<0

∴必有点C∈(a,b)，使f'(c)=0
则曲线f'(x)，x∈(a,b)与曲线f(x)，x∈(a,b)必有交点
同理，做曲线f(x)，x∈(a,b)关于x轴的镜像g(x)，x∈(a,b)
则曲线f'(x)，x∈(a,b)与曲线g(x)，x∈(a,b)必有交点D
点D即为所求实根

Answer 3

先证明若xi<xj是f（x）的相邻两个零点，则f'(xi)*f'(xj)<=0;
若不然，必有f'(xi)>0&f'(xj)>0或f'(xi)<0&f'(xj)<0;
以前者为例，因为xi<xj，所以存在任意小量ξ >0满足xi+ξ<xj-ξ，且0=f(xi)<f(xi+ξ);f(xj-ξ)<f(xj)=0;
则必存在xi+ξ<x<xj-ξ，使得f（x）=0，这与xi，xj是相邻两个邻点矛盾。所以f'(xi)*f'(xj)<=0；
不失一般性可让f'（xi）<=0,f'(xj)>=0
令g(x)=f(x)+f'(x),则g(xi)<=0,g(xj)>=0,由于f（x）导数连续，所以g（x）是连续函数，因此必然存在xi<=x<=xj,使得g（x）=0