排列组合公式 [例析递推数列通项公式的求解策略]

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　　已知递推数列求通项公式，是数列中一类非常重要的题型，也是高考的热点之一。数列的递推公式千变万化，由递推数列求通项公式的方法也是灵活多样。下面我就谈谈几类递推数列通项公式的求解策略。
　　一、an+1=an + f (n)
　　方法：利用叠加法。a2=a1+f(1),a3=a2+f(2)，…，an=an-1+f(n-1)。
　　例1：数列{an}满足a1=1，an=an-1+■(n≥2)，求数列{an}的通项公式。
　　解：由题意得，an+1=an+■，
　　故an=a1+■■
　　=1+■(■-■)
　　=1+1-■=2-■。
　　二、an+1=an f (n)
　　方法：利用累乘法。a2=a1 f(1)，a3=a2 f(2)，…，an=an-1 f(n-1)。
　　例2：数列{an}中a1=1，且an+1=an・■，求数列{an}的通项。
　　解：因为an+1=an・■，
　　所以an=■・■…■a1，所以an=n。
　　三、an+1=pan+q，其中p,q为常数，且p≠1,q≠0
　　方法：（1）叠代法。即由得an+1=pan+q得an=pan-1+q=p(pan-2+q)+q=…=pn-1a1+(pn-2+pn-3+…+p2+p+1)q=a1pn-1+■(p≠1)。
　　（2）待定系数法。构造一个公比为p的等比数列，令an+1+λ=p(an+λ)，则(p-1)λ=q,即λ=■，从而{an+■}是一个公比为p的等比数列。如下题可用待定系数法得λ=■=-1，可将问题转化为等比数列求解。待定系数法有时比叠代法更加简便。
　　例3：设数列{an}的首项a1=■，an=■，n=2,3,4,…，求数列{an}通项公式。
　　解：令an+k=-■(an-1+k)，
　　又∵an=■=-■an-1+■，n=2,3,4,…
　　∴k=-1，∴an-1=-■(an-1-1)，
　　又a1=■，∴{an-1}是首项为-■，公比为-■的等比数列，
　　即an-1=(a1-1)(-■)n-1，即an=(-■)n+1。
　　四、an+1=pan+f(n)型，其中p为常数，且p≠1
　　例4：在数列{an}中，a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ＞0，求数列{an}通项公式。
　　解：由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ＞0，
　　可得■-(■)n+1=■-(■)n+1，
　　所以{■-(■)n}为等差数列，其公差为1，首项为0。
　　故■-(■)n=n-1。
　　所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n。
　　评析：对an+1=pan+f(n)的形式，可两边同时除以pn+1，得■=■+■，令■=bn,有bn+1=bn+■，从而可以转化为累加法求解。
　　总之，由数列的递推关系求通项方法有很多，这里由于篇幅限制，不再一一列举。
　　（责编 张晶晶）
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