专升本高数向量组线性相关与线性无关性是什么

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线性相关与线性无关性是向量组中的重要概念。简单来说，线性相关意味着向量组中存在某种关系，而线性无关则表示向量组中的向量之间没有这种关系。向量组的线性相关与线性无关性可通过加法与数乘这两个运算来实现，体现了线性意义下的关系。

在向量空间中，讨论向量关系时，只能利用加法与数乘运算构造线性组合。若向量无法通过有限个向量线性组合得到，则说明该向量与给定向量组无关。若向量组中任何向量均与其余向量无关，则称其线性无关。相反，若存在相关性，则称线性相关。

直观上理解，线性相关的向量组内存在冗余向量，移除它们不影响问题解决。例如，在线性方程组中，若某方程(或其系数向量)是其余方程的线性组合，则可移除该方程得到同解方程组。在向量组中，只需关注极大无关组，因为它等价于原向量组。在有限维向量空间中，基的选取极为重要，确定了整个空间中向量的唯一线性组合表示方式。

相关定理指出，若向量组数量多于能线性表出的数量，则该多数量向量组必然线性相关。该结论基于未知量多于方程的齐次线性方程组必有非零解。向量数量等于未知量数量，未知量越多，可能有非零解；向量分量等于方程数量，方程越多，可能无解。

线性相关性对应齐次线性方程组有非零解，线性无关性对应齐次线性方程组只有零解。一个向量表示为其他向量线性组合对应一般线性方程组的解问题。因此，线性相关、线性无关性的讨论实质上是线性方程组解的讨论，是同一问题的不同表现形式。

任何无关向量组都可以扩充为整个空间的一组基。由此说明向量空间的任何子空间均存在补子空间，使得整个空间可表示为两子空间的直和。这也表明向量空间总是可分解的。对于其他代数结构，一般没有这种性质。向量空间作为简单代数结构，仅作实验或练习，或作为更复杂结构的基础研究。

给定基后，每个基元素的倍数构成一个1维子空间，整个空间可表示为这些1维子空间的直和。一个向量组线性无关等价于由向量组中向量确定的1维子空间成直和。由此定义子空间的线性无关性：它们成直和。例如，不同特征值对应的特征子空间线性无关，因为它们成直和。即，不同特征值的特征向量线性无关。