已知函数f(x)= sin(ωx+φ),求m的值范围。

Answer 1

【求解答案】

1、f(x)的表达式

2、m的取值范围是[(4π-3)/(2π+3)，(4π+3)/(2π-3)]

【求解思路】

1、根据已知点A的坐标值和点B的坐标值，可以得到

由此可求得ω、φ值。有了ω、φ值，就有了f(x)的表达式。

有了f(x)的表达式，我们就可以用五点法来绘制其函数图形。

1）特殊点B、C。可以令y=0，解其三角函数方程，得到x值。

2）特殊点A、E。可以求其一阶导数，并令f’(x)=0，求出其极值点，再用求其二阶导数值，并判断其是最大值还是最小值。

3）特殊点D。可以令x=0，解其三角函数方程，得到y值。

4) 将上述五点光滑的曲线顺次连接起来，即可得到其函数图形。

2、把f(x)的表达式代入 (2-m)f(x)=m+1，求得的x值，并令x=0和x=5π/3，再次求解方程就可得到m取值范围。

【求解过程】

一，求f(x)=sin(ωx+φ)的表达式

1）将已知点A的坐标值（π/3，1）和点B的坐标值（4π/3，0），分别代入所要求的 f(x)=sin(ωx+φ)中，得

有了f(x)的表达式，我们就可以用五点法来绘制其函数图形。

二，求f(x)=sin(ωx+φ)的特殊点

1）特殊点B、C。

令y=0，有

这样就特殊点B、C。即B(4π/3，0)，C(-2π/3，0)

2）特殊点A、E。

对f(x)求一阶导数和二阶导数

根据极值判断条件，可知特殊点A是最大值，点E是最小值。

3）特殊点D。

令x=0，有

这样就得到，点D的坐标（0，0.866）。

4）根据上述五个特殊点，用光滑的曲线顺次连接起来，就得到其函数的图形。

三、确定m的取值范围

根据已知条件，有

所以，m的取值范围是[(4π-3)/(2π+3)，(4π+3)/(2π-3)]或[1.0305,4.7412]。

【本题知识点】

1、五点法。五点法作图的实质是选取三角函数的一个周期，将其四等分，即取五个关键性的分点，相应地找到函数图象的最高点、最低点及与x轴的交点．因为这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此就可以迅速地画出函数的草图了。

2、基本三角函数诱导公式。

sin(-α)= - sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)= - tanα

sin(π/2 +α)=cosα，cos(π/2 +α)= - sinα，tan(π/2 +α)= - cotα

sin(π/2 -α)=cosα，cos(π/2 -α)= sinα，tan(π/2 -α)= cotα

sin(π+α)= - sinα，cos(π+α)= - cosα，tan(π+α)= tanα

sin(π-α)= sinα，cos(π-α)= - cosα，tan(π-α)= - tanα

sin(nπ+α)=(-1)ⁿsinα，cos(nπ+α)= =(-1)ⁿcosα，tan(nπ+α)= tanα

sin(nπ-α)= - (-1)ⁿsinα，cos(nπ-α)= =(-1)ⁿcosα，tan(nπ-α)= - tanα

3、函数极值条件。

1）、一元函数的极值。如果函数f(x)在点x0的某一邻域内满足f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；如果函数f(x)在点(x0)的某一邻域内满足f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值。点(x0)称为极值点。

2）、极值的判定。可以根据第一充分条件和第二充分条件来判断。

第一充分条件：设y=f(x)在x0的某一邻域可导，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，如果y'在x0的两侧异号，则f(x0)为极值；如果y'在x0的两侧同号，则f(x0)非极值。

第二充分条件：设y=f'(x0)=0，f"(x0)存在，且f"(x0)≠0，如果f"(x0)>0，则f(x0)为极小值；如果f"(x0)<0，则f(x0)为极大值。