秩为1的矩阵的特征值怎么算

Answer 1

对于一个秩为1的矩阵 $A = xy^T$，其中 $x$ 和 $y$ 是列向量，我们可以利用其结构来计算特征值。首先，由于 $A$ 的秩为1，因此其特征值的个数最多为1，且对应的特征向量是与 $xy^T$ 线性无关的向量。假设存在一个非零列向量 $v$，满足 $xy^Tv = \lambda v$，则可以推出 $(y^Tv)x = \lambda v$。由于 $y^Tv$ 是一个标量，这意味着 $\lambda$ 是唯一的。同时，因为 $v$ 是非零向量，所以 $y^Tv \neq 0$。这样，我们就可以将上式两边同时除以 $y^Tv$，得到：$$x\frac{v}{y^Tv} = \lambda \frac{v}{y^Tv}$$

这表明 $\frac{v}{y^Tv}$ 是 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $\lambda$。值得注意的是，如果 $x$ 和 $y$ 不满足线性无关的条件，那么矩阵 $A$ 的秩就不为1，上述结论便不再适用。综上所述，秩为1的矩阵 $A=xy^T$ 的特征值只有一个，即 $\lambda = y^Tx$，对应的特征向量可以是与 $xy^T$ 线性无关的任意列向量，通常选择 $\frac{v}{y^Tv}$ 作为特征向量。

为了进一步理解这一点，我们可以考虑一个具体的例子。假设 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$，$y = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$，那么矩阵 $A = xy^T = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 12 \\ 18 & 24 \end{bmatrix}$。通过计算可以发现，矩阵 $A$ 的秩为1，其唯一的非零特征值 $\lambda = y^Tx = 25$。对应的特征向量可以是与 $xy^T$ 线性无关的任意向量，比如选择 $\frac{v}{y^Tv}$ 作为特征向量，其中 $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。

通过上述分析可以看出，秩为1的矩阵 $A = xy^T$ 的特征值计算相对简单，且其对应的特征向量也具有一定的规律性。这种特征值和特征向量的性质在矩阵理论中有着广泛的应用，特别是在线性代数和数值分析中。

值得注意的是，尽管 $A$ 的秩为1，其特征值 $\lambda$ 可以通过 $y^Tx$ 直接计算得到，但特征向量的选择应避免与 $xy^T$ 线性相关，以确保特征向量的唯一性。此外，这种特征值和特征向量的性质对于理解和分析秩为1的矩阵具有重要意义。