有关默森质数

Answer 1

默森质数(Mersenne number)又称麦森数，是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若其是素数，则称为梅森素数。

中文名

梅森数

外文名

Mersenne number

开创者

欧几里得、费马、马林·梅森

最早开创时间

公元前300多年

目录

1 基本信息

2 历史介绍

基本信息

梅森数(Mersenne number)又称麦森数，是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若其是素数，则称为梅森素数。 [1] 

梅森素数是数论研究中的一项重要内容，自古希腊时代起人们就开始了对梅森素数的探索。由于这种素数具有着独特的性质（比方说和完全数密切相关）和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家（包括欧几里得、费马、欧拉等）和无数的数学爱好者对它进行探究。 [2] 

素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2^p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

17世纪法国著名数学家梅森曾对“2^p-1”型素数作过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言（现称“梅森猜想”）。由于他是当时欧洲科学界的中心人物和法兰西科学院的奠基人，数学界就将“2^p-1”型的素数称为“梅森素数”，其余的数称谓梅森合数。

历史介绍

编辑 播报

马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。

1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则(2^p－1)2^(p－1)是完美数。

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑。

虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。

值得一提的是：在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“卢卡斯-莱默检验法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。 [3]  此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

美国中央密苏里大学数学家库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，于2016年1月7日发现了第49个梅森素数——274,207,281-1。该素数也是目前已知的最大素数，有22,338,618位。这是库珀教授第四次通过GIMPS项目发现新的梅森素数，刷新了他的记录。他上次发现第48个梅森素数257,885,161-1是在2013年1月，有17425170位。

梅森素数在当代具有重大意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径，其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术和计算机检测技术的发展。 [4]  难怪许多科学家认为，梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席马科斯 索托伊甚至认为它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。

所有的奇素数都是准梅森数（2^N-1）的因 子数，凡是一个素数是四倍金字塔数A的因子数，都不是以后梅森合数的因子数，则留下部份素数可能都是梅森合数的因子数。

梅森素数的计算公式

3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M

P是梅森数的指数，M是P以下的梅森素数的个数。

以下是计算的数值与实际数的情况：

指数5，计算2.947，实际3 ，误差0.053；

指数7，计算3.764，实际4 ，误差 0.236；

指数13，计算4.891，实际5，误差0.109；

指数17，计算5.339，实际6，误差0.661；

指数19，计算5.766，实际7，误差1.234；

指数31，计算6.746，实际8，误差1.254；

指数61，计算8.445，实际9，误差0.555；

指数89，计算9.201，实际10，误差0.799；

指数107，计算9.697，实际11，误差1.303；

指数127，计算10.036 ，实际12，误差1.964；

指数521，计算13.818，实际13，误差-0.818；

指数607，计算14.259，实际14，误差-0.259；

指数1279，计算16.306，实际15，误差-1.306；

指数2203，计算17.573，实际16，误差-1.573；

指数2281，计算17.941，实际17，误差-0.941；

这个公式是根据梅森素数的分布规律得出的。万数1为首，1被除外了，所以要减去1。在不考虑重叠问题，应该P减1就可以了，这里已考虑重叠问题，所以就P减1.2.在梅森数的指数渐渐增大，1.2是否合适，还要等实际检验。

所有的奇素数都是准梅森数（2^N-1）的因 子数，则梅森合数的因子数是只有素数中的一部份。

在2^N-1的数列中，一个素数作为素因子第一次出现在指数N的数中，这个素数作为因子数在2^N-1数列中以N为周期出现。

一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。

一个是梅森素数的素数，它永远不是梅森合数的因子数。

一个是前面的梅森合数的因子数，它永远不会是后面的梅森合数的因子数。

所有梅森合数的数因子减1都能被这个梅森合数的指数整除，商是偶数。

梅森素数都在（1+4+16+64+... ...+4A）*6+1数列中（A前项的数），这种数暂时叫它四倍金字塔数，代号A。

在1+4+16+64+... ...+4A数列中的数，是阳性不等数（不等于6NM+-（N+M））的乘以6加上1就是梅森素数。

在2^N-1数列中指数是偶数的都是3A。

证明梅森素数无限多

梅森素数都在指数n是无限多的2^n-1数列中，梅森数和梅森素数只占其中的很少比例。

根据费马小定理，每一个奇素数都会以数因子出现在2^n-1数列中，只不过有些提前出现，有些最后出现。只有梅森素数是最早出现在这个数列中的。其他有素数都不会最早出现，最迟出现的素数是在本数减1的数中，也就是费马小定理的地方。

每一个奇素数都十分有规律作为因子数出现在2^n-1数列中，一个素数第一次出现在2^n-1数中（包括梅森素数），这个素数就以n为周期反复出现在2^n-1数列中，如3第一次出现在n=2中，指数能被2整除的都有3的因子数;如7第一次出现在n=3，指数能被3整除的都有7的因子数;如5第一次出现在n=4中,指数能被4整除都有5的因子数。

以上的定理不用证明也可以证明梅森素数无限多，因有费马小定理作保证。

一个素数出现在2^n-1数列n中，不管n是素数不是素数，只要用小于n的全部奇素数去筛，指数n都在其中。如果是合数与前面的素数是重叠的，所以不用重筛了。

要筛完2^n-1数列中所有数因子，必需用少于或等于2^n-1平方根以内的所有素数去筛，这样剩下没有筛的就是梅森素数了.

2^n-1的数列是无限多的，无限多的自然数任你筛多少次的几分之一，永远是无限多的。所以梅森素数是无限多的。

2018年，Jonathan Pace利用“互联网梅森素数搜索”（GIMPS），成功发现第50个梅森素数M77232917，该素数有23249425位。

Answer 2

[编辑] 定义 梅森数是指形如2n − 1的数，记为Mn；如果一个梅森数是质数那么它称为梅森质数。 梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n < 257的梅森质数，不过他错误地包括了不是质数的M67 和M257，而遗漏了M61、M89 和M107。 例 M2 = 22 − 1 = 3、M3 = 23 − 1 = 7 是质数。 M4 = 24 − 1 = 15 不是质数。 相关命题和定理 [编辑] 梅森数和梅森质数的性质 图片参考：upload.wikimedia/math/c/e/2/ce28b2eb86f5122bef1fd77e9272acd7 。 q ≡ 3 mod 4 为质数。则2q+1也是质数若且唯若2q+1 整除Mq。 拉马努金给出：方程Mq = 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q为合数时有2个解。 [编辑] 梅森数和梅森质数的关系 下面的命题关注什么样的梅森数是梅森质数。 由 图片参考：upload.wikimedia/math/3/2/4/3244a4048d168749a5bbe90b2fd0be29 }-知：q是质数是Mq是质数的必要条件。但这不是充分的。M11 = 211 − 1 = 23 × 89 是个反例。 对Mq（q是质数）有： 若a是Mq的因数，则a有如下性质： a ≡ 1 mod 2q a ≡ ±1 mod 8 欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：Mq是质数若且唯若存在数对(x
y)使得 Mq = (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。 最近，Bas jen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。 Reix 发现q > 3时，Mq可以写成：Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。显然，若存在一个数对(x
y)，那么Mq是质数。 梅森数的素性检验 卢卡斯-莱默检验法是现在已知的检测梅森数素性的最好的方法。 该方法由爱德华·卢卡斯于1878年发现，并由莱默1930年代作了改进，因此得名。 该方法基于循环数列的计算，其原理是： Mn为质数若且唯若Mn整除Sn-2（S0=4，Sk = Sk − 12 − 2，k > 0）。 与完全数的关系 梅森质数与偶完全数有一一对应的关系。 前4世纪，欧几里德(Euclid)证明如果M是梅森质数，那么M(M+1)/2是完全数。 18世纪，欧拉(Euler)证明所有的偶完全数都有这种形式。 梅森质数列表 下面表中列出了所有已知的梅森质数：（OEIS中的数列A000668） # n Mn Mn的位数 发现日期 发现者 1 2 3 1 古代 古人 2 3 7 1 古代 古人 3 5 31 2 古代 古人 4 7 127 3 古代 古人 5 13 8191 4 1456年 无名氏 6 17 131071 6 1588年 Cataldi 7 19 524287 6 1588年 Cataldi 8 31 2147483647 10 1772年 欧拉 9 61 2305843009213693951 19 1883年 Pervushin 10 89 618970019…449562111 27 1911年 Powers 11 107 162259276…010288127 33 1914年 Powers 12 127 170141183…884105727 39 1876年 卢卡斯 13 521 686479766…115057151 157 1952年1月30日 Robinson 14 607 531137992…031728127 183 1952年1月30日 Robinson 15 1
279 104079321…168729087 386 1952年6月25日 Robinson 16 2
203 147597991…697771007 664 1952年10月7日 Robinson 17 2
281 446087557…132836351 687 1952年10月9日 Robinson 18 3
217 259117086…909315071 969 1957年9月8日 Riesel 19 4
253 190797007…350484991 1
281 1961年11月3日 Hurwitz 20 4
423 285542542…608580607 1
332 1961年11月3日 Hurwitz 21 9
689 478220278…225754111 2
917 1963年5月11日 Gillies 22 9
941 346088282…789463551 2
993 1963年5月16日 Gillies 23 11
213 281411201…696392191 3
376 1963年6月2日 Gillies 24 19
937 431542479…968041471 6
002 1971年3月4日 Tuckerman 25 21
701 448679166…511882751 6
533 1978年10月30日 Noll & Nickel 26 23
209 402874115…779264511 6
987 1979年2月9日 Noll 27 44
497 854509824…011228671 13
395 1979年4月8日 Nelson & Slowinski 28 86
243 536927995…433438207 25
962 1982年9月25日 Slowinski 29 110
503 521928313…465515007 33
265 1988年1月28日 Colquitt & Welsh 30 132
049 512740276…730061311 39
751 1983年9月20日 Slowinski 31 216
091 746093103…815528447 65
050 1985年9月6日 Slowinski 32 756
839 174135906…544677887 227
832 1992年2月19日 Slowinski & Gage 33 859
433 129498125…500142591 258
716 1994年1月10日 Slowinski & Gage 34 1
257
787 412245773…089366527 378
632 1996年9月3日 Slowinski & Gage 35 1
398
269 814717564…451315711 420
921 1996年11月13日 GIMPS / Joel Armengaud 36 2
976
221 623340076…729201151 895
932 1997年8月24日 GIMPS / Gordon Spence 37 3
021
377 127411683…024694271 909
526 1998年1月27日 GIMPS / Roland Clarkson 38 6
972
593 437075744…924193791 2
098
960 1999年6月1日 GIMPS / Nayan Hajraala 39 13
466
917 924947738…256259071 4
053
946 2001年11月14日 GIMPS / Michael Cameron 40* 20
996
011 125976895…855682047 6
320
430 2003年11月17日 GIMPS / Michael Shafer 41* 24
036
583 299410429…733969407 7
235
733 2004年5月15日 GIMPS / Josh Findley 42* 25
964
951 122164630…577077247 7
816
230 2005年2月18日 GIMPS / Martin Nowak 43* 30
402
457 315416475…652943871 9
152
052 2005年12月15日 GIMPS / Curtis Cooper及Steven Boone 44* 32
582
657 124575026…053967871 9
808
358 2006年9月4日 GIMPS / Curtis Cooper及Steven Boone
参考: zh. *** /w/index?title=%E6%A2%85%E6%A3%AE%E7%B4%A0%E6%95%B0&variant=zh-
所谓的质数，就是一个正整数，除了1和本身以外，没有别的数能够把他整除的数。 2
3
5
7
13
17
19
31
61
89
参考: math.ncu.edu/mathtimes/20021021/main1?dat=article%7Cmath-prime