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Question

如图，已知∠ABC=2∠C，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：BD=BF.

Answer 1

证明：
∵AD⊥BC
∴⊿ADC是直角三角形
∵E是AC的中点
∴DE是直角三角形斜边的中线
∴DE=CE（直角三角形斜边的中线等于斜边长度的一半）
∴∠EDC=∠C（等边对等角）
∵∠BDF=∠EDC(对顶角相等)
∴∠BDF=∠C（等量代换）
∵∠ABC=∠BDF + ∠DFB（三角形一个外角等于其不相邻的两个内角和）
∴∠ABC=∠C+ ∠DFB（等量代换）
∴∠DFB=∠ABC-∠C
∵∠ABC=2∠C（已知）
∴∠DFB=∠C
又 ∵∠BDF=∠C（已证）
∴∠DFB=∠BDF（等量代换）
∴BD=BF（等角对等边）

Answer 2

∵AD⊥BC
∴△ADC是直角三角形
∵DE是AC的中线
∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∵∠EDC=∠BDF
∴∠C=∠BDF

∵∠ABC是△BDF的外角
∴∠ABC=∠BDF+∠F

又∵∠ABC＝2∠C
∴∠ABC＝∠C+∠C

∴∠F＝∠C＝∠BDF
△BDF是等腰三角形
BD=BF

Answer 3

AD⊥BC于D，E是AC的中点，所以 DE = CE = AE
∴∠EDC = ∠C
又∠EDC = ∠BDF
∴∠BDF = ∠C
∴∠F = ∠ABC - ∠BDF = 2∠C - ∠C = ∠C = ∠BDF
∴BD = BF

Answer 4

证BD=BF就是证BDF是等腰三角形，即∠F=∠BDF。由对顶角相等，又三角形内角和为180度，则只需证∠BAC+∠FEA=∠CED+∠DCE即可。剩下的自己完成