错位重排的简介

Answer 1

表述为：编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？　　对这类问题有个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn，则D1=0，D2=1，　　Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1）　　我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。我们只需要记住结论，进行计算就可以。
【例】五个盒子都贴了标签，全部贴错的可能性有多少种？
即全贴错标签，N个项数全部排错的可能数，可以总结出数列：
0，1，2，9，44，265，………
可以得到这样一个递推公式：（A+B）*（N-1）=C （A是第一项，B是第二项，C是第三项，N是项数）
s(n)=(n-1) [ s（n-1）+s（n-2）]
s(2)=1,s(3)=2
s(4)=3*(1+2)=9
s(5)=4*(2+9)=44
s(6)=5*(9+44)=265 ....................
公式由来 把编号 1-------------n的小球放到编号1------n的盒子里，全错位排列（1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推），共有几种情况？
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设n个球全放错的情况有 s（n）种
1号盒子可以选[2,n] 共（n-1）种选择，设1号盒选择某号球后对应的错排次数是 a
（n-1）个选择对应的错排次数是相同的 ，则 s（n）=（n-1）a
不妨设1号盒选择2号球
1： 2号盒选择1号球，剩下 （n-2）个球去错排，有 s（n-2）种情况
2： 2号盒不选择1号球，则后面总有一个盒子选择1号球，我们可以把1号球换成2号球，
对问题没有影响，此时就相当于对（n-1）个球去错排，有s（n-1）种情况
于是a= s（n-1)+s(n-2)
s(n)=(n-1) [ s（n-1）+s（n-2）]
s(2)=1,s(3)=2
s(4)=3*(1+2)=9
s(5)=4*(2+9)=44
s(6)=5*(9+44)=265 ....................
【例题】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？　　A．6种 B．9种 C．12种 D．15种
根据4位厨师的错位重排数D4=9，所以由公式可以看出是有9种。