我快不行了,谁来救救我?高中数学555 有追加

Question

已知幂函数f(x)=x^((3/2)+(k)-(1/2)(k^2)) (k属于z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数。
（1）求函数f(x)的解析式.
（2）设g(x)=f[f(x)]-(λ-2)f(x)+2-λ,问是否存在实数λ,使在(-∞,-(√2)/2]内是减函数,在(-(√2)/2,0]内是增函数.若存在，求出λ，若不存在,说明理由

Answer 1

（1）由已知，（3/2）+k-（1/2）k²=-[(k-1)²-4]/2且该式为正偶数，
∴k=1时，为2；k=3时，为0；
所以，k=1
∴f（x）=x².

（2）易知g(x)=x^4 - (λ-2)x^2 + 2-λ
求导 g'(x)=4x^3 - 2(λ-2)x
显然g'(x)在整个实数R上是先增后减再增的
再求二阶导数 g''(x)=12x^2 - 2(λ-2)
此时
当λ小于等于2时，判别式小于等于0 ，g''(x)大于等于0恒成立
即g'(x)恒增，此时 要使
那么要使g(x)在(-∞,-根号2除以2]内是减函数,在(-根号2除以2,0]内是增函数
只要使g'(x)在 x=负根号2除以2 时的函数值等于0即可
解出 λ=1

到此为止，我们已经证出了λ确实存在，按理说到此问题就已证完了
但上述只是讨论了g''(x) 判别式小于等于0的情况，我们还可以继续往下讨论

当 λ>2 时，即g''(x) 判别式大于0

易知 x=根号下(λ-2)/6 时g'(x)取得极大值 ，x=负根号下(λ-2)/6 时g'(x)取得极小值 下面要再分两种情况来讨论 建议此时楼主画出g'(x)的草图助于理解
1. 当极大值小于0时，即 g'(根号下(λ-2)/6) < 0
那么要使g(x)在(-∞,-根号2除以2]内是减函数,在(-根号2除以2,0]内是增函数
只需令g'(x)在(-∞,-根号2除以2]内 小于0 ，在(-根号2除以2,0]内 大于0
很显然
对于所有λ>2 来说是明显不成立的，因为 根号下(λ-2)/6 是大于0的
大于0的时候g'(x)都小于0 ，那么在在(-∞,-根号2除以2] 以及(-根号2除以2,0] 内 g'(x) 就更小于 0 了
这样的话 g(x) 在（-∞，0]上都是恒减函数

2.当极大值大于0时， 即g'(根号下(λ-2)/6) > 0
这时再往下确实有点麻烦，由于前面我们已经证明了确实存在λ，所以往下我也就不再写了，我说一下思路，楼主有兴趣就自行探讨一下吧 ，我估计解那三次方程够麻烦
因为这个时候我们需要求出g'(x)的最左边的零点
然后，令这个零点的函数值等于0 求出λ
然后根据 g'(根号下(λ-2)/6) > 0 所限定的 λ 的范围 来取舍λ

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/64666723.html?si=1