怎样判断二项式系数的奇偶性

Question

对任意数n 问Cn0 Cn1……Cnn(都是组合数，前一个是下标，后一个是上标）中有多少个是偶数，能不能简单计算与判断？

Answer 1

对组合数C(n,k) (n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。
组合数的奇偶性判定方法为:
结论：
对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。
证明：
利用数学归纳法：
由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);
对应于杨辉三角：
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
………………
可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，
C(n,k)满足结论。
1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：
则有：(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) == k-1;
由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1
。
现假设n&k == k。
则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。
所以得n&k != k。
2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：
则有：(n-1)&k != k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
现假设n&k == k.
则对于k最后一位为1的情况：
此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。
而对于k最后一位为0的情况：
则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。
相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。
而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。
则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。
所以得n&k != k。
由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。
3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：
则有：(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
所以k的末尾必有一部分形如：10;
相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;
相应的，k-1的对应部分为： 01;
则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)
所以 n&k = k。
4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：
则有：(n-1)&k != k;
(n-1)&(k-1) == k-1;
分两种情况：
当k-1的最后一位为0时:
则k-1的末尾必有一部分形如: 10;
相应的，k的对应部分为 : 11;
相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;
所以n&k = k。
当k-1的最后一位为1时:
则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)
相应的，k的对应部分为 : 10;
相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)
相应的，n的对应部分为 : 10;
所以n&k = k。
由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。
综上，结论得证!

Answer 2

你这个问题不太对吧....能不能补充下.....具体点