如图①所示,点C将线段AB分成两部分,如果AC/AB=BC/AC,那么称点C为AB的黄金分割点。

Question

如图①所示，点C将线段AB分成两部分，如果AC/AB=BC/AC，那么称点C为AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成了两部分，这两部分的面积分别为S1和S2，如果S2/S=S2/S1，那么称该直线L为该图形的黄金分割线。
问题探究：

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图②，则真相CD是△ABC的黄金分割线，你认为呢？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否为该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过电D作直线DF‖CE，交AC于点F，连接EF如同③，则直线也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由。

（4）如图④，点E是平行四边形ABCD的变AB的黄金分割点，过点E作EF‖AD，交CD于点F，显然直线EF是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过四边形ABCD各边黄金分割点。

Answer 1

（1）对的。三角形面积=1/2底*高。△ABC面积一定，在AB边上的高一定，那么AD：AB=S△ADC：S△ABC=BD：AD=S△BCD：S△ACD ，符合图形的黄金分割线定义。
（2）否。三角形的中线将三角形的面积等分。设原三角形面积为S，则中线分割后的两个三角形面积分别为S/2，不满足图形的黄金分割线定义。
（3）过D作BC边上的高DD‘交BC于D'。过E作BC边上的高EE’交BC于E'。
因为DF‖CE，所以BF：BC=BD：BE，
因为DD'‖EE'，所以BD：BE=DD‘：EE’，
因为 S△BCD=1/2×EE'×BC
S△BEF=1/2×DD'×BF
所以S△BCD：S△BEF=1：1=1 即S△BCD=S△BEF
根据（1）及图形的黄金分割线定义，EF也是黄金分割线。
（4）过FE中点，与AB、CD分别相交即可

Answer 2

 

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