高一必修2数学练习题

Question

要三视图和直观图，几何的
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Answer 1

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题型1：空间几何体的构造
例1．（1）（06北京理4）平面 的斜线 AB 交 于点 B，过定点 A 的动直线 与 AB 垂直，且交 于点 C，则动点C的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
（2）（04天津文 8）如图，定点A和B都在平面 内，定点 C是 内异于A和B的动点，且 那么，动点在平面 内的轨迹是（ ）
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
（3）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为 ，则点P的轨迹是[ ]
A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线
解析：（1）设 与 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 与 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面 的交线上，故选A。
（2）答案为B。
（3）解析： 点P到A1D1的距离为 ，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，
又 ， 满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.
故点P的轨迹是两个点。选项为C。
点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。
例2．（06江苏9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。
点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。
题型2：空间几何体的定义
例3．（06江西文9）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ B ）
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B
点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。
例4．（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）
A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件C
解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。若命题乙成立，命题甲一定成立。答案为C。
点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。
题型3：空间几何体中的想象能力
例5．（2002上海春，10）图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 对.

解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.
点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。
例6．（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．0°
答案：B
解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°。
点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
题型4：斜二测画法
例7．画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。
解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。作法：
（1）画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°。
（2）画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。
（3）画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE。′
（4）成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。
点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。
例8． 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 的面积为 ，那么△ABC的面积为_______________。解析： 。
点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。
题型5：平行投影与中心投影
例9．（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）

A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④
（2）（2000全国，16）如图9—15（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的 （要求：把可能的图的序号都填上）.

解析：（1）正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示。答案：C；
（2）答案：②③；解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。过E、F分别作DD1和CC1的垂线，可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。
点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。
例10．（06 安徽理16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面 的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为________________________（写出所有正确结论的编号）
解析：如图，B、D、A1到平面 的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面 的距离为3，所以D1到平面 的距离为6；B、A1的中点到平面 的距离为 ，所以B1到平面 的距离为5；则D、B的中点到平面 的距离为 ，所以C到平面 的距离为3；C、A1的中点到平面 的距离为 ，所以C1到平面 的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。
点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。
例11．（1）画出下列几何体的三视图

解析：这二个几何体的三视图如下

（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。
例12．某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

Answer 2

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