二阶导数是什么意思

Answer 1

二阶导数的定义：当y为函数时，y''=d(dy)÷(dx)²，

所以d(dy)=y''×(dx)²。

现在我们要求d(dx)，且x为自变量。为了使用上面的公式，设函数y等于自变量x，即y=x，则y'=(x)'=1，y''=(1)'=0，所以d(dy)=y''×(dx)²=0×(dx)²=0×(△x)²=0。于是，d(dx)=0。

微分运算比乘方运算优先级更高，所以(dx)²还可以写作dx²，其意义是(△x)²，也就是x的改变量的平方。d(dy)通常写作d²y。

如果想要先算乘方，再算微分，可以使用小括号改变运算顺序。例如，d(x²)=2xdx，其意义为“函数y=x²在x处的改变量的近似值等于x的改变量乘上x初值的两倍”。x的初值记为x，x的改变量记为△x（或dx），x改变后的值记为x+△x。y的改变量的近似值记为dy，y的改变量的准确值记为△y。

函数y=x²在x=4处有增量dx=△x=2，则y的改变量的近似值dy=2×4×2=16，y的改变量的准确值△y=(4+2)²-4²=36-16=20。定积分运算可以根据近似值求准确值，这里∫(上限6下限4)2xdx就等于准确值20。准确值=近似值+比x的改变量值更高阶的无穷小值。

不定积分是微分的逆运算，不是求导的逆运算。因为d(x²+C)=2xdx，所以∫2xdx=x²+C。
因为找不到函数使d(?)=2，所以∫2无意义。

lim(△x→0)△y/△x=dy/dx，意思是说，当x的改变量趋于0时y的改变量的准确值除以x的改变量得到的商的极限值，等于任何情况下（dx为任意非零值）y的改变量的近似值除以x的改变量得到的商。dx=△x可以理解为自变量的改变量的近似值就等于自变量的改变量的准确值。

d(dx)=0，而反过来∫0=C（常数），这说明x的改变量dx其实是一个与x无关的常数，就像d(3)=0，d(4)=0一样。因此，∫2x(dx)²中的2和其中一个dx可以视作常数提到不定积分号外面来，∫2x(dx)²=2dx∫xdx=2dx∫d(x²/2)=dx∫d(x²)=dx·x²=x²dx。

d(dy)表示 函数y的改变量的近似值 的改变量的近似值，也就是说d²y≈△dy。

d(dx)表示 自变量x的改变量的改变量，x的改变量是△x，△x本身没有改变量，所以d²x=△△x=0。

(dx)²表示 自变量x的改变量 的平方，也就是(dx)²=(△x)²。

我们知道，当速度是常数时，路程（位移的改变量）= 速度 × 时间，也就是s=vt。如果v不是常数，而是随时间t变化，即v=v(t)，那么初速度 × 时间得到的积就不等于路程的准确值，而是路程的近似值，也就是vdt=ds。其中v是初速度，dt是经过的时间（时间的改变量），ds是路程的近似值（位移的改变量的近似值）。

同理，当加速度是常数时，速度 = 加速度 × 时间。如果加速度不是常数而随时间变化，则初加速度 × 时间（adt）得到的是速度的近似值（dv）。路程又等于速度×时间，把刚才算出来的速度的近似值dv代入这个公式，dv乘上dt，得到的则是路程的近似值的近似值d²s=a(dt)²！d²s=d(ds)约等于路程的近似值的准确值△ds，但近似值的准确值△ds与准确值的准确值△△s还是有差距的。计算两次定积分，可以根据近似值的近似值，求出准确值的准确值。

如果加速度a=6t，则v=3t²，s=t³，且ds=3t²dt。如果ds里面的t有增量△t，那么会导致ds也产生增量△ds，且ds+△ds=3(t+△t)²dt（注意只有t有增量，dt是没有增量的哦，这也说明了自变量的二阶微分等于0）=3[t²+2t△t+(△t)²]dt=3t²dt+6t△tdt+3(△t)²dt，△ds=6t△tdt+3(△t)²dt。其中△ds的线性部分为6t△tdt=6tdt·dt=6t(dt)²，高阶无穷小部分为3(△t)²dt。△ds的线性部分记为d²s，△ds≈d²s，即：d²s是 s的改变量的近似值(ds) 的改变量的近似值。由于a=6t，所以d²s=a(dt)²。要计算出路程的准确值的准确值，需要进行两次积分：∫d²s=∫a(dt)²（其中a=6t）得到ds=3t²dt，然后∫ds=∫3t²dt得到s=t³。