球体和球壳的转动惯量的推导过程是怎样的？

Answer 1

球体和球壳的转动惯量的推导如下：
1. 球体的转动惯量：
定义球体的转动惯量为I，质量为m，半径为r。
球体可以看作由无数个离散质点组成，每个质点在球心处的距离均为r。
根据转动惯量的定义，可以得出球体的转动惯量为所有质点的质量乘以它们到轴线的距离的平方之和的总和：
I = Σ(m * r^2)
对于球体，每个质点的质量相等，可以表示为m = M/(4/3 * π * r^3)，其中M为球体的总质量。
将质量代入转动惯量的表达式中，得到：
I = Σ((M/(4/3 * π * r^3)) * r^2)
化简后得到：
I = M * (2/5 * r^2) = (2/5) * M * r^2
2. 球壳的转动惯量：
定义球壳的转动惯量为I，质量为m，内半径为r1，外半径为r2。
球壳可以看作由无数个离散质点组成，每个质点在球心处的距离均为r1到r2之间。
同样根据转动惯量的定义，可以得出球壳的转动惯量为所有质点的质量乘以它们到轴线的距离的平方之和的总和：
I = Σ(m * r^2)
对于球壳，每个质点的质量相等，可以表示为m = (M/(4/3 * π * r2^3)) * (4/3 * π * r2^3 - 4/3 * π * r1^3)，其中M为球壳的总质量。
将质量代入转动惯量的表达式中，得到：
I = Σ(((M/(4/3 * π * r2^3)) * (4/3 * π * r2^3 - 4/3 * π * r1^3)) * r^2)
化简后得到：
I = M * ((2/3 * r1^2) + (2/5 * r2^2)) = (2/3) * M * (r1^2 + r2^2)
综上所述，球体的转动惯量为 (2/5) * M * r^2，球壳的转动惯量为 (2/3) * M * (r1^2 + r2^2)。