高一数学题（平面向量问题）

Question

如图，在直角三角形ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问向量PQ与向量BC的夹角O取何值时的值时向量BP与向量CQ的乘积最大？并求出这个最大值。

Answer 1

向量符号就不打了，楼主看的明白就好。
解 以A为原点，AB、AC所在射线为x、y轴正方向建立直角坐标系，
则A(0,0),
设B(c,0),C(0,b),P(p,q),则Q(-p,-q),
显然，b²+c²=a² ①
p²+q²=a² ② ，
PQ=(-2p,-2q),BC=(-c,b),
PQ与BC的夹角设为θ，
则cosθ=PQ·BC/[|PQ|*|BC|]=(2pc-2bq)/(2a²) ③
BP=(p-c,q),CQ=(-p,-q-b),
BP·CQ=(p-c)(-p)+(q)(-q-b)=-(p²+q²)+(pc-bq),
由②③得：BP·CQ=-a²+a²cosθ=a²(cosθ-1)
所以当θ=90°时，BP·CQ取得最大值0