先阅读下面材料，再回答问题．一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b范围内，对于任意x 1 ，x 2 ，当a＜x

Question

先阅读下面材料，再回答问题．一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b范围内，对于任意x 1 ，x 2 ，当a＜x 1 ＜x 2 ＜b时，总是有y 1 ＜y 2 （y n 是与x n 对应的函数值），那么就说函数y在a＜x＜b范围内是增函数．例如：函数y=x 2 在正实数范围内是增函数．证明：在正实数范围内任取x 1 ，x 2 ，若x 1 ＜x 2 ，则y 1 -y 2 =x 1 2 -x 2 2 =（ x 1 -x 2 ）（ x 1 +x 2 ）因为x 1 ＞0，x 2 ＞0，x 1 ＜x 2 所以x 1 +x 2 ＞0，x 1 -x 2 ＜0，（ x 1 -x 2 ）（ x 1 +x 2 ）＜0即y 1 -y 2 ＜0，亦即y 1 ＜y 2 ，也就是当x 1 ＜x 2 时，y 1 ＜y 2 ．所以函数y=x 2 在正实数范围内是增函数．问题：（1）下列函数中．①y=-2x（x为全体实数）；② y=- 2 x （x＞0）；③ y= 1 x （x＞0）；在给定自变量x的取值范围内，是增函数的有______．（2）对于函数y=x 2 -2x+1，当自变量x______时，函数值y随x的增大而增大．（3）说明函数y=-x 2 +4x，当x＜2时是增函数．

Answer 1

（1）①y=-2x， ∵k=-2＜0， ∴x在全体实数范围内y随x的增大而减小； ② y=- 2 x （x＞0）， ∵k=-2＜0， ∴x＞0时，y随x的增大而增大； ③ y= 1 x （x＞0）， ∵k=1＞0， ∴x＞0时，y随x的增大而减小， 综上所述，增函数只有②； （2）二次函数y=x 2 -2x+1的对称轴为x=- b 2a =- -2 2×1 =1， ∵二次函数开口向上， ∴自变量x＞1时，函数值y随x的增大而增大； （3）证明：设x 1 ＜x 2 ＜2， 则y 1 -y 2 =（-x 1 2 +4x 1 ）-（-x 2 2 +4x 2 ）， =-x 1 2 +x 2 2 +4x 1 -4x 2 ， =-（x 1 -x 2 ）（x 1 +x 2 ）+4（x 1 -x 2 ）， =（x 1 -x 2 ）（4-x 1 -x 2 ）， ∵x 1 ＜x 2 ＜2， ∴-x 1 ＞-x 2 ＞-2，x 1 -x 2 ＜0， ∴4-x 1 -x 2 ＞0， ∴（x 1 -x 2 ）（4-x 1 -x 2 ）＜0， 即y 1 -y 2 ＜0， 亦即y 1 ＜y 2 ， 也就是当x 1 ＜x 2 ＜2时，y 1 ＜y 2 ， 所以函数y=x 2 在正实数范围内是增函数．