矢量的点乘和叉乘是什么？

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向量的世界：点乘与叉乘的神秘双面

向量，这个数学世界的轻盈舞者，由n个实数组成的有序矩阵，无论是n行1列（n*1）还是1行n列（1*n），都承载着丰富的几何内涵。其中，点乘（内积）和叉乘（外积或向量积）是向量运算的两个重要工具，它们各自揭示了独特的几何意义和计算法则。

点乘：量化的亲密接触

点乘，或称向量的内积，就像两个向量间的温柔拥抱，将对应位置的元素相乘后求和，结果是一个标量。公式表述为：

a·b = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n

它的几何意义不仅体现在测量两个向量的夹角，还能计算b在a方向上的投影，如三角形余弦定理所示：

cos(θ) = (a·b) / (|a| * |b|)

这为我们揭示了向量间的亲密关系，如若a·b > 0，它们基本同向，夹角在0°至90°之间；a·b = 0，表示正交，垂直；a·b < 0，方向相反，夹角在90°至180°。

叉乘：几何空间的魔力

相较于点乘的温情，叉乘（外积或向量积）则显得更为刚毅。对于向量a和b，其运算结果是一个全新的向量，而非标量，垂直于a和b所在的平面。计算公式如下：

a × b = (a_2b_3 - a_3b_2)i + (a_3b_1 - a_1b_3)j + (a_1b_2 - a_2b_1)k

在三维空间中，这个新生成的向量，我们亲切地称它为法向量，它就像一个指南针，为我们指明了a和b构成平面的方向。

图像学中的应用：构建三维世界

在图像学的殿堂，叉乘的魔力被发挥到极致。利用两个向量的叉乘，我们可以生成一个垂直于它们的法向量，以此作为X、Y、Z坐标系的基准，赋予图像深度和立体感，正如这个生动的三维示意图所展示的。