关于罗素悖论

Question

在罗素悖论有这么一句话：现在考虑一个不是它本身的元素的集合组成的集合，这个集合是它本身的元素吗？如何理解，什么是不是它本身的元素的集合组成的集合，有没有实际的例子能举举看？

Answer 1

罗素悖论是个相当经典的问题，它有许多种不同的表述，但实质上是等价的，以下给一个较为易懂的表述：理发师只给那些不给自己理发的人理发。注意了，理发师给他自己理发吗？假设不，则他会给自己理发；假设要，则他不给自己理发；这是一个矛盾体，所以称之为悖论。下面解释“什么是不是它本身元素的集合”，可以理解为R={Q|Q不属于Q}，那么我们不禁要问，R是R的元素吗？若R是R的元素，则由定义应有：R不属于R；同理若R不是R的元素，则由定义可得R属于R；自相矛盾。

Answer 2

理发师悖论：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

Answer 3

Answer 4

一个不是它本身的元素的集合组成的集合——把“这句话是错的”这个句子看做一个集合。

那么问这个集合是他本身的元素吗——相当于说假如这句话是对的，那么它的论断“这句话是错的”成立，说明这句话又错了，矛盾。

假如这句话是错的，那么它的论断“这句话是错的”不成立，说明这句话是对的，又矛盾。

所以这句话对也不行，错也不行。