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Question

O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG，已知△BCE全等于△DCF 。已知若GE*GB= 4-2倍的根号2求正方形的 面积

Answer 1

已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG.

（1） 试说明：△BCE≌△DCF；
（2） OG与BF有什么数量关系？说明你的理由；
（3） 若GE•GB＝4－ ，求正方形ABCD的面积.
【思考与分析】 （1）要说明△BCE和△DCF全等，我们只要结合题意，根据四边形ABCD为正方形，即可得；（2）要求OG和BF的关系，我们知道O是BD的中点，因此我们只要知道点G在DF的什么位置，问题即可得解；（3）看图我们可知道GE和GB在两个不同的三角形中，但是这两个三角形相似，因此我们可根据相似建立等量关系来解.
（1） 解： 在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD＝90°.
因为 ∠DCF=∠BCD=90°，CF=CE，
所以 △BCE≌△DCF.
（2） 解： OG= BF.
事实上： 由 △BCE≌△DCF，得到∠EBC=∠FDC.
因为 ∠BEC=∠DEG，
所以 ∠DGE=∠BCE，即 BG⊥DF.
因为 BE平分∠DBC，BG=BG，
所以 △BGF≌△BGD.
所以 BD=BF，G为DF的中点.
因为 O为正方形ABCD的中点，
所以 O为BD的中点.所以 OG= BF.
（3） 解： 设BC=x，则DC=x，BD= x.
由（2），得BF＝BD= x.
所以 CF=BF-BC=（ －1）x.
在Rt△DCF中，

因为 ∠GDE=∠GBC=∠GBD，∠DGE=∠BGD=90°，
所以 △DGE∽△BGD，所以
即DG2=GE•GB=4-2 .
因为 DF=2DG，
所以 DF2=4DG2=4（4－2 ）. ②
由①，②两式，得 x2+（ －1）2x2＝4（4－2 ）.
解得 x2＝4.
所以正方形ABCD的面积为4.
应该是这个吧

Answer 2

你好，你要的答案是：
OG‖BF且OG=BF/2
证明如下：
在△BCE与△DCF中
∠BCE=∠DCF=90°
CE=CF，BC=CD
∴△BCE≌△DCF
∴∠F=∠BEC，∠CBE=∠CDF

而∠BEC=∠EBD+∠EDB
=∠EBD+∠CBE
=∠EBD+∠CDF=∠BDF
∴∠F=∠BDF
∴△BDF是等腰三角形
又∵BG平分∠DBF
∴G为DF的中点
∴OG是△DBF的中位线
∴OG‖BF且OG=BF/2
(2)以下用S表示ABCD的面积
由(1)中 △BCE≌△DCF知
∠CBE=∠CDF=22.5°
则△BDF以DF为底计算面积（用S1）为：
S1=1/2×DF×GB
=DG×GB
=GE/tan22.5°×GB
=GE×GB/tan22.5°
而S1=1/2×BF×CD （BF为底）
=1/2×(BC+CF)×CD
=1/2×BC×CD+1/2×CF×CD
=1/2×S+1/2×CF×CD
∴GE×GB/tan22.5°=1/2×S+1/2×CF×CD

又∵CF=CE=BC×tan22.5
∴GE×GB/tan22.5°=1/2×S+1/2×BC×tan22.5°×CD
=1/2×S+1/2×S×tan22.5°
根据半角公式
tan22.5°=(1-cos45°)/sin45°=根号2 -1
代入上式子解出
S=7-3× 根号2