牛吃草问题

Question

1：牛吃草问题 火车站的检票处检票前已有一些人排队等待检票进站，假设每分钟前来检票处检票的人数一定，那么当开四个检票口时，30分钟就没人排队；当开五个检票口时，20分钟就无人排队。如果开七个检票口，需要多少 分钟可以检完？如果要在15分钟内检票完毕，那么至少要开多少个检票口？
要过程！

Answer 1

【解答】这是常见的基础的牛吃草问题，他们的解法都很好。这里我也给你分享两种解法，另外我在博客里面用讲座的形式分享了三种方法解答牛吃草问题，可以去看看。

解法一：把每个窗口每分钟检票人数看作1份。

4个检票口30分钟检票：4×30＝120份
5个检票口20分钟检票：5×20＝100份

30－20＝10分钟就增加了：120－100＝20份
每分钟前来检票处的人数：20÷10＝2份
检票前已经有的人数：（5－2）×20＝60份（或者100－20×2＝60份）

七个检票口，用2个检票口检新来的，剩下的7－2＝5个检票口检先到的，
需要的时间是：60÷5＝12分钟。

如果要在15分钟内完毕，那么就需要有60÷15＝4个检票口检先到的，
准备2个检票口检新来的，这样就需要4＋2＝6个检票口。

解法二：由于每分钟来的人数相同，我们用相同的检票口去检新来的人数，对于检先到的人，我们用剩下的检票口去检，由于剩下的检票口的个数不同，检先到的那部分人的时间就不同，它会随检票口的增加而缩短时间。实际上，当我们用固定的检票口去检新来的，剩下的检票口去检先到的，这时，把先到的检完，所有的就检完了。

把先到的人数看作单位1，
4个窗口检票需要30分钟，说明每分钟可以检先到的1/30；
5个窗口检票需要20分钟，说明每分钟可以检先到的1/20。
增加5－4＝1个窗口，就可以多检1/20－1/30＝1/60

开7个检票口增加7－5＝2个检票口，每分钟就会多检1/60×2＝1/30，
说明开7个检票口每分钟可以检先到的1/20＋1/30＝1/12
即需要的时间是1÷1/12＝12分钟。

要在15分钟内检完，说明每分钟检先到的1/15，
要比5个检票口多（1/15－1/20）÷1/60＝1个，
即需要5＋1＝6个检票口。

附：大家交流解题方法，能不能采纳那是没什么关系的。也欢迎大家在我博客留言，发现更多的解法。

Answer 2

设每个检票口每分钟检票x人,原有等待的y人，每分钟新来z人
则
4x*30=y+30z
5x*20=y+20z
得到
y=60x z=2x

如果开七个检票口，则设时间为t分钟
有
t*x*7=y+t*z
带入
7tx=60x+2tx
t=12

如果要15分内检票完毕，设开k个检票口
则要求
k*15*x>=y+15z
带入
15kx>=60x+30x
15k>=90
k>=6
最少要6个检票口

Answer 3

解：假设每分钟每个口进一个人。
4口30分钟进的人数是 4*30=120
5口20分钟进的人数是 5*20=100
两者是差是 120-100=20
每分钟到的人数是 20/（30-20）=2
原来的人数是 120-30*2=60 或 100-20*2=60
设开7个口x分钟进完，有 7x=60+2x,解得x=12
设在15分钟进完要开y个口，有 15y=60+15*2，解得y=6
答：如果开七个检票口，需要12分钟可以检完。如果要在15分钟内检票完毕，那么至少要开6个检票口。

Answer 4

设每分钟来x人，每个检票口每分钟检票y张
4y×30-30x=5y×20-20x
解得x=2y
所以原来有人数为4y×30-30x=60y
设开七个检票口需要a分钟
则7ya-xa=60y
因为x=2y
所以a=12

设开b个窗口c分钟能检完
则byc-cx=60y
x=2y
所以b=(60+2c)/c
c≤15
所以b=60/c+2≥6
所以至少开6个检票口

Answer 5