可分离变量的微分方程，请问这一步是怎么得出的，求详细步骤，谢谢。

Answer 1

当一个微分方程可分离变量时，我们可以将方程分解为两个只依赖于单独变量的方程。具体步骤如下：

假设我们有一个可分离变量的微分方程，形式为：dy/dx = f(x)g(y)。

将方程进行变形，将dy和g(y)移到方程的一侧，将dx和f(x)移到方程的另一侧： g(y)dy = f(x)dx

接下来，我们可以对上述方程两边同时积分。左侧的积分就是对g(y)dy进行的积分，右侧的积分就是对f(x)dx进行的积分： ∫g(y)dy = ∫f(x)dx

对于左侧的积分，我们要找到一个函数G(y)，其导数等于g(y)，即G'(y) = g(y)。这样，我们就可以将左侧的积分转化为G(y)： ∫g(y)dy = ∫G'(y)dy = G(y)

对于右侧的积分，我们要找到一个函数F(x)，其导数等于f(x)，即F'(x) = f(x)。这样，我们就可以将右侧的积分转化为F(x)： ∫f(x)dx = ∫F'(x)dx = F(x)

最终得到的方程为： G(y) = F(x)

上述方程即为可分离变量的微分方程的通解。如果需要求特解，可以根据初始条件进行进一步求解。

需要注意的是，上述步骤只适用于形式为dy/dx = f(x)g(y)的可分离变量的一阶微分方程，对于其他形式的微分方程，可能需要采用其他方法进行求解。

Answer 2

假设我们有一个可分离变量的微分方程，形式为：dy/dx = f(x)g(y)。

将方程进行变形，将dy和g(y)移到方程的一侧，将dx和f(x)移到方程的另一侧： g(y)dy = f(x)dx

接下来，我们可以对上述方程两边同时积分。左侧的积分就是对g(y)dy进行的积分，右侧的积分就是对f(x)dx进行的积分： ∫g(y)dy = ∫f(x)dx

对于左侧的积分，我们要找到一个函数G(y)，其导数等于g(y)，即G'(y) = g(y)。这样，我们就可以将左侧的积分转化为G(y)： ∫g(y)dy = ∫G'(y)dy = G(y)

对于右侧的积分，我们要找到一个函数F(x)，其导数等于f(x)，即F'(x) = f(x)。这样，我们就可以将右侧的积分转化为F(x)： ∫f(x)dx = ∫F'(x)dx = F(x)

最终得到的方程为： G(y) = F(x)

上述方程即为可分离变量的微分方程的通解。如果需要求特解，可以根据初始条件进行进一步求解。