若矩阵A可逆，则r(AB)=r(B)，为什么？

Answer 1

假设A为n*m、B为m*s、AB为n*s，

因为A可逆，所以r(A)=n，又因为r(AB)<=min(r(A),r(B))=min(n,r(B))【重要定理一】;

①假设r(B)<n,则r(AB)<=r(B),又因为r(AB)>=r(A)+r(B)-n【重要定理二】所以，r(AB)>=n+r(B)-n=r(B);根据夹逼准则，r(AB)=r(B);

②假定r(B)>n.则r(AB)<=n,而又因为r(AB)>=r(B)>n,则矛盾;

③假定r(B)=n.显然，r(AB)=r(B);

扩展资料：

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵  ，它的一个元素：

并将此乘积记为:   .

例如：

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律： 

左分配律： 

右分配律： 

矩阵乘法不满足交换律。

n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量  ，对应的二次型。

若  ，就称A为正定矩阵。若  则A是一个负定矩阵，若  ，则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵 。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

参考资料：百度百科——矩阵

Answer 2

知识点: R(AB)<=min{R(A),R(B)}.

证明: 一方面有 R(AB)<=R(B)
另一方面, 由于A可逆, 有
R(B) = R(A^-1(AB)) <= R(AB)
综上, R(AB)=R(B).
同理可证 R(BA)=R(B).
是否可以解决您的问题？