初中一年级数学几何题，关于中点问题，求证M是DE中点

Question

如图以三角形ABC的顶点A为直角顶点，AC和BC为直角边向三角形ABC形外作等腰Rt三角形ABC和Rt三角形ACE，联接DE，自A向BC作垂线AH，垂足为H，延长HA交DE于M，求证：M是DE中点
配图：

Answer 1

证明：

在BC上取N点，使CN=AM，连接 AN

 在△ACN和△EAM中

 已知 AC=EA,  CN=AM

因为  ∠AHC=90度

所以  ∠NCA+∠CAH=90度

   又   ∠MAE+∠CAH=180-90=90度，

所以 ∠MAE=∠NCA

所以 △ACN全等△EAM （边角边）

所以 EM=AN   （*）

同理可证 ∠ABN=∠DAM

因此 ∠BAC=∠ADM+∠AEM

又 ∠CAN=∠AEM

故 ∠BAN=∠ADM

已知 AD=AB

所以 △ABN全等△DAM （角边角）

所以 AN=DM

于是由（*）式得  EM=DM 

即 M是DE的中点

 

 

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