跪求几道奥数题，要详解，回答得好可以再加分

Question

1.两个孩子在圆形跑道上从同一点A出发按相反方向运动，他们的速度是5米/秒和9米/秒，如果他们同时出发并当他们在A点第一次相遇的时候结束，纳闷他们从出发到结束之间相遇的次数是多少？
2.16个小球分成8个、3个、5个共三堆。按下面的规则进行移动，取其中任意两堆A、B，若A堆球数不少于B堆球数，就从A堆与B堆相同数目的小球到B堆。经若干次这样的移动之后，使得所有小球成为一堆如图，如果16个小球分成7个、6个、3个共三堆，那么按照上面的规则，最少移动多少次，就能使所有小球成一堆
图： （8,3,5，）—>(8,6,2)—>(8,4,4)—>(8,8,0)—>(16,0,0)
3.2的19次方+2的20次方+2的21次方+……+2的40次方=
4.团体游园购买公园的门票，五十人一下每人12元，51人到100人每人10元，100人以上每人8元，今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1142元，如和在一起作为一个团购票，总计只应付门票费864元，这两个旅游团各少人
5.1/3+1/（3的2次）+……1/（3的12次）
6.比较大小A=2005*2006/2007*2008 B=2006*2007/2008*2009 C=2007*2008/2008*2010/6/7
7.两个数的最小公倍数是1650。这两个数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是13，这两个数分别是多少

Answer 1

1.
设两个小孩为甲乙
甲乙速度比为5:9
相同时间内的路程比也是5:9
即甲跑5圈，乙能跑9圈
结束的时候，甲乙一共跑了5+9=14圈
甲乙每共跑1圈就会相遇一次
所以从出发到结束，两人一共相遇14次（包括最后结束时候的一次）
从出发到结束之间，一共相遇13次（不包括结束时的那一次）

2.
（7,6,3）->(4,6,6)->(4,12,0)->(8,8,0)->(16,0,0)
最少4次

3.
等比数列求和，没学过等比数列的，用如下方法：
设m=2^19+2^20+2^21+...+2^40
两边都乘2，得：
2m=2^20+2^21+2^22+...+2^40+2^41
相减，得：
m=(2^20+2^21+...+2^41)-(2^19+2^20+...+2^40)
=2^41-2^19
(2的41此方减去2的19此方）

4.
864÷8=108>100
所以合到一起以后就是108人
两个团的人数不能都在50人以下
也不能一个在51--100，一个在100以上
1142不能被10整除，所以两个团的人数不能都在51--100之间
如果是分别在50人以下和100人以上，
分开买，票款最多：12×7+101×8=892<1142
那么两个团的人数就分别是50人以下和51-100人
现在就是一个基本的鸡兔同笼问题了
如果这108人都按10元购票
一共需要：108×10=1080元
少了：1142-1080=62元
50人以下的，每人票款多：12-10=2元
所以50人以下的为：62÷2=31人
51--100人的为：108-31=77人
两个旅游团分别为31人和77人

5.
还是一个等比数列，用刚才第3题的方法：
设m=1/3+1/(3^2)+1/(3^3)+...+1/(3^12)
都乘1/3，得：
1/3m=1/(3^2)+1/(3^3)+...+1/(3^13)
相减，得：
(1-1/3)m=1/3-1/(3^13)
2/3m=1/3-1/(3^13)
m=[1/3-1/(3^13)]*3/2
=1/2[1-1/(3^12)]

6.
A/B=2005*2006/(2007*2008)×2008*2009/(2006*2007)
=2005*2009/2007^2
=(2007+2)(2007-2)/(2007^2)
=(2007^2-4)/(2007^2)<1
所以A<B
C到底是什么？
请核实一下数据，也可以用上面的方法来进行比较吧
需要帮助就HI我

7.
1650=2*3*5*5*11
两个数的最小公倍数除以它们的最大公约数，得到的两个商是互质的
把13分解成两个互质的数的和，并且这两个互质的数，是1650的约数
13=2+11=3+10
1）
两个商分别为2,11
则最大公约数为75
这两个数分别为：
1650÷2=825
1650÷11=150
或：
两个商分别为3,10
则最大公约数为55
这两个数分别为：
1650÷3=550
1650÷10=165

Answer 2

1,假设这2个孩子叫做甲和乙，甲的速度是5米/秒，乙是9米/秒
他们是反方向运动，所以当他们相遇时，2个人跑的路程加起来刚好是圆形跑道的一圈，甲跑了这个圈的5/(5+9)=5/14，也就是每次的相遇点往甲跑的方向移动5/14圈。5和14的最小公倍数是70，所以当他们相遇70/5=14次的时候，这相遇点又回到A点。所以相遇是14次。

2，4次，(7,6,3)->(4,6,6)->(4,12,0)->(8,8,0)->(16,0,0)

3,因为2^0+2^1+.....+2^n=2^(n+1)-1
所以
2^19+2^20+.....+2^40
=2^0+2^1+.....+2^40-(2^0+2^1+....+2^18)
=2^41-1-(2^19-1)
=2^41-2^19

4,因为2团分开买要1142元而一起买要864元，所以2个团加起来应该超过100人，
所以2个团一共有864/8=108人
如果2个团都分别超过50人，门票价格只需要108*10=1080元，
(1142-1080)/(12-10)=31
108-31=77
所以这2个团分别有31人和77人。

5，整个式子乘以一个(1-1/3)再除以一个(1-1/3),结果不变
(1/3+1/3^2+.....+1/3^12)*(1-1/3)/(1-1/3)
=(1/3+1/3^2+.....+1/3^12-(1/3^2+1/3^3+....1/3^13))/(1-1/3)
=(1/3-1/3^13)/(1-1/3)
=(1/3-1/3^13)*3/2
=1/3-1/(2*3^12)

6,(这一题最好注意一下书写，乘法除法的优先级是一样的，所以A应该写成2005*2006/(2007*2008))
A-B=2005*2006/(2007*2008)-2006*2007/(2008*2009)
=(2005*2006*2009-2006*2007*2007)/(2007*2008*2009)
=2006*(2005*2007+2005*2-2005*2007-2*2007)/(2007*2008*2009)
<0
所以A<B
C如果是2007*2008/(2008*2010)的话
2007*2008/(2008*2010)=2007/2010>2006/2009>2006*2007/(2008*2009)
也就是A<B<C

但如果C是2007*2008/(2008*2010)/6/7是明显小于A和B的，也就是C<A<B
如果C是2007*2008/(2008*2010)/(6/7)，C明显大于A和B，也就是A<B<C

7，1650=2*3*5*5*11
只有当2个商分别是2和11时，加起来才是13
也就是他们的最大公约数是3*5*5=75
所以这2个数分别是2*75=150和11*75=825

Answer 3

6.∵(1-2/n)(1-2/(n+1))在n>2增加,
而A=(1-2/2007)(1-2/2008)……，所以A<B<C

7.1650=2×3×5^2×11，经检验只有13=2+11=3+2×5满足因数要求，
所以两数分别为2×3×5^2=150，3×5^2×11=825
或3×5×11=165，2×5^2×11=550

Answer 4

1,假设这2个孩子叫做甲和乙，甲的速度是5米/秒，乙是9米/秒
他们是反方向运动，所以当他们相遇时，2个人跑的路程加起来刚好是圆形跑道的一圈，甲跑了这个圈的5/(5+9)=5/14，也就是每次的相遇点往甲跑的方向移动5/14圈。5和14的最小公倍数是70，所以当他们相遇70/5=14次的时候，这相遇点又回到A点。所以相遇是14次。

2，4次，(7,6,3)->(4,6,6)->(4,12,0)->(8,8,0)->(16,0,0)

3,因为2^0+2^1+.....+2^n=2^(n+1)-1
所以
2^19+2^20+.....+2^40
=2^0+2^1+.....+2^40-(2^0+2^1+....+2^18)
=2^41-1-(2^19-1)
=2^41-2^19

4,因为2团分开买要1142元而一起买要864元，所以2个团加起来应该超过100人，
所以2个团一共有864/8=108人
如果2个团都分别超过50人，门票价格只需要108*10=1080元，
(1142-1080)/(12-10)=31
108-31=77
所以这2个团分别有31人和77人。

5，整个式子乘以一个(1-1/3)再除以一个(1-1/3),结果不变
(1/3+1/3^2+.....+1/3^12)*(1-1/3)/(1-1/3)
=(1/3+1/3^2+.....+1/3^12-(1/3^2+1/3^3+....1/3^13))/(1-1/3)
=(1/3-1/3^13)/(1-1/3)
=(1/3-1/3^13)*3/2
=1/3-1/(2*3^12)

6,(这一题最好注意一下书写，乘法除法的优先级是一样的，所以A应该写成2005*2006/(2007*2008))
A-B=2005*2006/(2007*2008)-2006*2007/(2008*2009)
=(2005*2006*2009-2006*2007*2007)/(2007*2008*2009)
=2006*(2005*2007+2005*2-2005*2007-2*2007)/(2007*2008*2009)
<0
所以A<B
C如果是2007*2008/(2008*2010)的话
2007*2008/(2008*2010)=2007/2010>2006/2009>2006*2007/(2008*2009)
也就是A<B<C

但如果C是2007*2008/(2008*2010)/6/7是明显小于A和B的，也就是C<A<B
如果C是2007*2008/(2008*2010)/(6/7)，C明显大于A和B，也就是A<B<C

Answer 5

tyurt68r8ur6u8t78i

Answer 6

,假设这2个孩子叫做甲和乙，甲的速度是5米/秒，乙是9米/秒
他们是反方向运动，所以当他们相遇时，2个人跑的路程加起来刚好是圆形跑道的一圈，甲跑了这个圈的5/(5+9)=5/14，也就是每次的相遇点往甲跑的方向移动5/14圈。5和14的最小公倍数是70，所以当他们相遇70/5=14次的时候，这相遇点又回到A点。所以相遇是14次。

2，4次，(7,6,3)->(4,6,6)->(4,12,0)->(8,8,0)->(16,0,0)
.
等比数列求和，没学过等比数列的，用如下方法：
设m=2^19+2^20+2^21+...+2^40
两边都乘2，得：
2m=2^20+2^21+2^22+...+2^40+2^41
相减，得：
m=(2^20+2^21+...+2^41)-(2^19+2^20+...+2^40)
=2^41-2^19
(2的41此方减去2的19此方）

4.
864÷8=108>100
所以合到一起以后就是108人
两个团的人数不能都在50人以下
也不能一个在51--100，一个在100以上
1142不能被10整除，所以两个团的人数不能都在51--100之间
如果是分别在50人以下和100人以上，
分开买，票款最多：12×7+101×8=892<1142
那么两个团的人数就分别是50人以下和51-100人
现在就是一个基本的鸡兔同笼问题了
如果这108人都按10元购票
一共需要：108×10=1080元
少了：1142-1080=62元
50人以下的，每人票款多：12-10=2元
所以50人以下的为：62÷2=31人
51--100人的为：108-31=77人
两个旅游团分别为31人和77人

5.
还是一个等比数列，用刚才第3题的方法：
设m=1/3+1/(3^2)+1/(3^3)+...+1/(3^12)
都乘1/3，得：
1/3m=1/(3^2)+1/(3^3)+...+1/(3^13)
相减，得：
(1-1/3)m=1/3-1/(3^13)
2/3m=1/3-1/(3^13)
m=[1/3-1/(3^13)]*3/2
=1/2[1-1/(3^12)]

6.
A/B=2005*2006/(2007*2008)×2008*2009/(2006*2007)
=2005*2009/2007^2
=(2007+2)(2007-2)/(2007^2)
=(2007^2-4)/(2007^2)<1
所以A<B
1650=2*3*5*5*11
只有当2个商分别是2和11时，加起来才是13
也就是他们的最大公约数是3*5*5=75
所以这2个数分别是2*75=150和11*75=825