怎样求一个函数全微分,求步骤和例题

Answer 1

函数在某一点的全微分可以通过以下步骤求得：
1. 首先，我们需要计算函数在该点的导数，即 \( f'(x) \)。
2. 其次，我们要确定自变量 \( x \) 的改变量，记作 \( \Delta x \)。
3. 然后，我们将导数 \( f'(x) \) 乘以自变量的改变量 \( \Delta x \)，得到微分 \( \Delta y \)。
4. 最后，我们得到全微分的表达式为 \( \Delta y = f'(x) \Delta x \)。
需要注意的是，这里的 \( \Delta x \) 表示一个有限的改变量，而不是无限小。而 \( dx \) 通常用来表示无穷小，与 \( \Delta x \) 不同。
让我们通过一个例子来演示这个过程：假设有一个函数 \( f(x) = x^2 \)，我们要在 \( x = 2 \) 处求全微分。
1. 计算导数：\( f'(x) = 2x \)，所以在 \( x = 2 \) 处，\( f'(2) = 2 \times 2 = 4 \)。
2. 确定自变量的改变量：假设 \( \Delta x = 0.1 \)。
3. 计算微分：\( \Delta y = f'(2) \Delta x = 4 \times 0.1 = 0.4 \)。
4. 得到全微分：\( \Delta y = 0.4 \)。
这样我们就得到了函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处全微分的值为 \( 0.4 \)。