设a,b,c,均为整数，且1/a+1/b+1/c=1 ，当a+2b+3c取得最小值时，求a的值 -高中数学-

Question

是正数 不是整数

Answer 1

解：
∵1/a+1/b+1/c=1
∴a+2b+3c=1*a+1*2b+1*3c
=(1/a+1/b+1/c)*a+(1/a+1/b+1/c)*2b+(1/a+1/b+1/c)*3c
=1+a/b+a/c+2+2b/a+2b/c+3+3c/a+3c/b
=6+a/b+2b/a+a/c+3c/a+2b/c+3c/b
∵a/b+2b/a≥2根号2
a/c+3c/a≥2根号3
2b/c+3c/b≥2根号6
∴a+2b+3c≥6+2根号2+2根号3+2根号6
且此时a^2=2b^2，a^2=3c^2，2b^2=3c^2即a:b:c=根号6:根号3:根号2
∵1/a+1/b+1/c=1
∴a=1+根号2+根号3时，有最小值6+2根号2+2根号3+2根号6

Answer 2

a+2b+3c=（a+2b+3c）*（1/a+1/b+1/c）=（1+2b/a+3c/a+a/b+2+3c/b+a/c+2b/c+3）
=6+(2b/a+a/b)+(3c/a+a/c)+(3c/b+2b/c)≥6+2倍根号2+2倍根号3+2倍根号6
仅当2b/a=a/b 3c/a=a/c 3c/b=2b/c时等号成立此时有最小值
所以此时a的值为1+根号2+根号3

Answer 3

希望能帮到你。就是均值不等式啦。。纯手打哦。。应该没有算错。。
∵条件a,b,c>0，1/a+1/b+1/c=1
∴a+2b+3c
=(a+2b+3c)[1/a+1/b+1/c]
=1+2+3+a/b+2b/a+a/c+3c/a+2b/c+3c/b
≥6+2[√2+√6+√3]
当且仅当a/b=2b/a，a/c=3c/a，2b/c=3c/b
a=√3c,a=√2b
∵1/a+1/b+1/c=1
∴1/a+√2/a+√3/a=1
∴a=1+√2+√3

Answer 4

a+2b+3c
=(a+2b+3c)(1/a+1/b+1/c)
=1+2+3+a/b+a/c+2b/a+2b/c+3c/a+3c/b
=6+(a/b+2b/a)+(a/c+3c/a)+(2b/c+3c/b)
>=6+2√2+2√3+2√6 （均值不等式）
当且仅当 a^2=2b^2=3c^2 且 1/a+1/b+1/c=1 ，也即 a=1+√2+√3 时，a+2b+3c 取得最小值。

Answer 5

a+2b+3c=（a+2b+3c）（1/a+1/b+1/c）=6+2b/a+a/b+3c/a+a/c+2b/c+3c/b≥...
当且仅当2b/a=a/b 3c/a=a/c 2b/c=3c/b时等号成立
将b，c用a的形式表现出来 得1/a+（根号2）/a+（根号3）/a=1
此时a=1+根号2+根号3