高中数学概率部分的问题 数学大神请进 我已纠结死了！！关于放回抽样与不放回抽样的问题

Question

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲,乙袋中摸出1个球为红球的概率为1/5

若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和数学期望．

我看错题了，算的是不放回的，算出来答案是3/5。但答案算放回的结果也是3/5.。。很奇怪！！我觉得应该不完全是巧合，可能满足什么条件后放回和不放回算出的期望就是相等的。我尝试列方程组解但是也没解出来，麻烦哪位大神告诉我一下啦到底怎么回事。

我知道概率一定算错了，但期望一定是对的，什么条件下期望不变呢？？

我搜了一下也有人问过一个类似的问题http://zuoye.baidu.com/question/b0eb85ab08831ec7af1b077818ceeff4.html
但我真心觉得不完全是巧合。。。想知道为什么，，纠结！！！

Answer 1

设ξ1为甲袋中摸出的红球数,ξ2为乙袋中摸出的红球数
则ξ1~B(1,1/5),ξ2~B(2,1/5)
P(ξ1=0)=4/5,P(ξ1=1)=1/5
P(ξ2=0)=16/25,P(ξ2=1)=8/25,P(ξ2=2)=1/25
ξ=ξ1+ξ2
P(ξ=0)=64/125,P(ξ=1)=48/125,P(ξ=2)=12/125,P(ξ=0)=1/125
分布列
ξ 0 1 2 3
P 64/125 48/125 12/125 1/125
Eξ=Eξ1+Eξ2=1*(1/5)+2*(1/5)=3/5
(本题在不放回的条件下从乙袋中摸出2球,Eξ2≠2/5)
希望能帮到你！

追问

我就是想知道有没有在满足某些条件的情况下，放回和不放回算出来的期望值真的能证明出来都是一样的，比如设ξ可取a,b; p( ξ=a)=x,p(ξ=b)=1-x,则E(ξ)=ax-bx+b。 那我为什么会在一些题目中求出的放回和不放回的情况下概率完全不一样，但恰好都能满足E(ξ)=ax-bx+b。。。。。。这我就脑子转不过来了~~~~但我又很好奇，麻烦帮忙想想啦！！！

追答

在应用中,有一种情况近似看成相等:样本容量很大,比如某地区抽样调查得出中学生频率是0.08.
现从中抽取2人,ξ表示抽出中学生人数,此时研究分布列的期望,近似看成相等.

当样本容量较小,有放回和无放回抽取,前都二项分布,后者是几何分布,有没有相等这问题我目前所知没结论。

追问

那意思就是只是巧合了？我就是用最简单的分类分步原理算的，看错题了算的是不放回的，算出来每一个概率值都是带有m的表达式，但神奇的是算到最后期望值时把m都约掉了，算的结果真的也是3/5……
但我链接的那个问题也是这样的呀，那个问题的题干比较清晰，不带未知数，他也是算的放回不放回是一样的答案。
还是因为我们按照不放回算的时候思路不严谨所以算错了？？

追答

对我前面对本题的解法改进为:ξ~B(3,1/5) (因3次抽取是独立重复试验)

...
Eξ=3*(1/5)=3/5

你的猜想不是巧合,是必然。
约定:C[n,m]表示“从n个不同元素中取出m个的组合数“
我以袋中有m个红球、n个白球(m≥2,n≥2),从中取出2球.
(1)有放回抽取,ξ为取出红球个数,ξ~B(2,m/(m+n)),
Eξ=2m/(m+n)
(2)无放回抽取,ξ为取出红球个数.

Eξ=(1*C[m,1]C[n,1]+2*C[m,2])/C[m+n,2]=2m/(m+n)
所以有放回抽取、无放回抽取Eξ相同.

一般:如果袋中有m个红球、n个白球(m≥k,n≥k),从中取出k个球.
ξ为取出红球个数,那么有放回抽取、无放回抽取ξ的相同.
(我试证过,结论成立。只要用到一些组合数知识）

希望能帮到你！