函数方程函数方程的概念

Answer 1

函数方程的定义：含有未知函数的等式叫做函数方程。如 f(x+1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x+2)=f(x) 等，其中 f(x) 是未知函数。

函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如 f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解。

解函数方程：求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程。

定理（柯西函数方程的解）：若 f(x) 是单调（或连续）函数且满足 f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)，则 f(x)=xf(1)。证明过程如下：由题设不难得 f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)。取x1=x2=…=xn=x，得 f(nx)=nf(x) (n∈N+)。令x=0，则 f(0)=nf(0)，解得 f(0)=0。x=1，则 f(n)=nf(1)。x=1/2，则 f(m)=nf(1/2)，解得 f(1/2)= f(m)= f(1)。x= -1/2，且令y= -x>0，则 f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0。因此 f(x)= -f(y)= -yf(1)=xf(1)。由此知，对任意有理数x均有f(x)=xf(1)。另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)。综上所述，对于任意实数x，有 f(x)=xf(1)。

扩展资料

含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有 代换法（或换元法）、 待定系数法 、迭代法、 柯西法。