如何证明正弦函数导函数是余弦函数?

Answer 1

1、正弦、余弦函数的图像和性质

y=sinx
y=cosx

定义域
R
R

值域
[－1，1]
[－1，1]

奇偶性
奇函数
偶函数

单调性
在每个区间上增，

在每个区间上减

（k∈Z）
在每个区间[(2k－1)π，2kπ]上增，

在每个区间[2kπ，(2k＋1)π]上减

（k∈Z）

周期性
2π
2π

对称轴

对称中心

有界性

当x=(2k＋1)π(k∈Z)时，y最小=－1；

当x=2kπ(k∈Z)时，y最大=1．

2、函数y=sinx,x∈[0,2π]图象上五个关键点：

函数y=cosx, x∈[0,2π]图象上五个关键点：

正（余）弦函数图像的作法通常采用“五点法”作图：

选取正（余）弦函数的一个周期（一般取x∈[0，2π]，根据五个关键点（其横坐标分别为0、、2π）分别找到函数图像的最高点、最低点及其与x轴的交点，从而基本确定了函数的图像位置与形状，再把上述简图沿x轴向左或向右连续地平行移动，每次移动的距离为2π，即可得到函数y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图像——正弦曲线和余弦曲线．

3、周期函数的定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x＋T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫这个函数的一个周期．如果T中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期，以后提到的周期T，一般均是指最小正周期．周期函数的定义可以理解为：当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个非零定值T时，函数值重复出现，定义中“x取定义域内的每一个值”和“不为零的常数”是两个不可缺少的条件．正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它们的周期，且最小正周期为2π．

对于周期函数应注意以下几点：

（1）一般地，如果T（T>0）是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈N*)也是函数y=f(x)的周期；

（2）一个周期函数未必都有最小正周期，例如常数函数y=c，就不存在最小正周期；

（3）对于函数y=f(ωx)(ω≠0)，如果存在非零常数T，使得f(ωx＋T)=f(ωx)对定义域的任何值都成立，那么这个函数的一个周期是．

4、正（余）弦函数在其定义域内都不是单调函数，但存在单调区间，如y=sinx在（k∈Z）上是增函数，注意不能说正弦函数在第一、四象限内为增函数，例如：且均为第一象限角，但不能成立．

Answer 2

你可以用几何方法证明，想想中学学的几何，三角函数都是在单位圆上定义的，导数就是切线方向，你画个图立刻就明白了

Answer 3

dsinX/dX=(sin(X+dx)-sinX)/dx=（sinXcosdx+cosXsindx-sinX）/dx。。。然后cosdx等于1.。sindx等于dx

变为cosX

参考资料：还好还好

Answer 4

有导数的定义去证明，很容易哦。

Answer 5

[sin(x+dx)-sin(x)]/dx
= [2*sin(dx/2)]*cos(x+dx/2)/dx
= [2*sin(dx/2)/dx] *cos(x+dx/2)
当dx趋向于零时，[2*sin(dx/2)/dx]=2*1/2=1
则原式=cos(x)