除法问题。

Question

我尽量详细描述下我的困惑，请求各位数学人解释下！在同类量除法中，比如6米÷3米＝2表示的是6米以3米为标准平均分成2份。这个用除法无可争议。而反过来3米是6米的几分之几？3÷6＝六分之三。我对这个除法不是很感冒，既然六米看作了一个标准，那么必须要以6米来分才行，而被除数只有3米，怎么分？课本上说为了使除法这中除数大的除法继续进行下去，可以用除法。那么此时的除法只能按照标准6米的六分之一去从3米中分出来。也就是说可以分出来3个6的六分之一。也就是六分之三倍。我认为有些矛盾，因为本来是想以6米为标准来分，怎么突然又以标准的六分之一来分了。它和前面整除是不统一了，整除是谁是单位一，就以单位一大小去分被除数。而现在不是以单位一平均分了，但是单位一还是放在除数的位置。我就认为有些矛盾。

Answer 1

时隔这么多年还能回答这样的问题，我还是感觉自己没有老。
首先，要知道乘法怎么来的
所有的数学理论都开始是服务于生活的，刚开始人们计数是这样的：
一个 一个 一个
后面出现了加法：
一个加上一个加上一个
或者两个加上两个加上两个加上两个
感觉计算有点变得复杂了
开始发明了，记住是发明了，不是发现了
乘法！
两个乘以4等于八个
表示四个两个相加。
接下来就是除法
把八个每两个一堆，可以分成几堆？
八个除以两个等于四个
除数是不能比被除数小的，不能出现3/6的情况
3/6的情况是为了扩充数论被发明的，但是数论扩充完毕之后，形成了一个概念
实数分为：有理数和无理数
有理数分为：整数和分数（有限小数和无限循环小数）
分数构造：用一个整数去除另一个整数且除不尽
比如：3/6=0.5=1/2
这就是个有限小数
再比如：1/3=0.33......
这就是个无限循环小数
但是在你这个阶段，用不能再把出发定义为之前的状态，就需要引入有一个概念，就是你现在疑惑的问题。
举个例子:
你知道：
2-1=1吗？当然知道
那么
1-3=-2呢？
他是错的吗，不是，他只是在没有学习负数之前，可能觉得不符合常理罢了。
听懂了吗？

追问

谢谢您，精彩的回答。占用你一点时间，你看我说的对不？

我觉得整除时是按照标准的一倍一倍去把被除数等分掉，而出现分数倍时，就是按照分数单位在等分被除数。由于被除数不足一倍，所以分出来的倍数就是分数倍，到达不了一倍。

整除时是按照整倍在除，不能整除时是按照分数单位在除。说明这种包含关系同性质的除法，只是人为的把标准放在除数的位置，去度量被除数。也就说明了除法的本质就是，不管是整数倍等分被除数还是分数单位倍等分被除数。都是在把被除数在进行等分。这样就通过除的方法到达了分数倍。

谢谢，帮忙指点下。可能我的理解有误！

可能我对除法的运转方式不是很理解。

有时间一定要指点下。万分感谢！

Answer 2

本题的问题 在数学中 叫做“平均分配”和“占有比例” ，互不矛盾。6米÷3米是把6米按照3米平均分成2等分，3米÷6米是看3米占有6米的比例，3/6其实就是二分之一，也就是说3米占6米的一半。 除法在数学中不只是平均分配大数，也可以用等量来衡量小数的占有比例。

追问

谢谢你老师。太激动了，终于有人这样说了。

你说用等量来衡量小球数的占有比例，可以用除法，是不是此时还是把被除数在平均分？此时按照商的分数单位在平均分配被除数？

也就是说像这种同类量除法，都是把单位量放在除数的位置而已，然后再按照多少和单位量，可以是整数个也可以是分数个单位量。把被除数平均分配？

老师我怎么总感觉既然单位一放在除数的位置，就一定要按照整个单位去平均分配被除数，我认为这中才能叫除法。谢谢您帮我分析下，我的理解在哪里出错了，或者我把除法理解错了。

追答

除法只是数学运算的一种计算方法，它是表示同类量之间的关系，用那个量做除数主要看计算单位的要求以及所表示的关系。不一定必须要平均分配。也就是说像这种同类量除法，都是把所需要的单位量放在除数的位置而已。求得的单位量可以是整数也可以是分数。

追问

可是除法的本质是平均分配除啊？这种也是在做除法，也应该是有等分的概念啊？

或者是这样理解，比如3米÷4米＝¾，可以按照4的¼分3次分完，也就相当于每¼份分得1米。

这样的话就是把被除数在等分了，可是达不到一倍数。

如果我们理解成除法。也就是除法就只要把被除数等分，就可以用除法算式，而不管能不能达到一倍数？

老师，你看我这样理解对不？除法的引入就是为了表示等分，也就是只要是吧把被除数平均分就可以用除法，而我们把一倍数也就是单位量只是人为的放在除数的位置，整除时候就相当于按照一个标准来等分被除数，不能整除时候就可以按照分数倍的分数单位来进行等分。谢谢您。

追答

就是这样，除法就是人为的把单位量放在除数的位置，整除时候就相当于按照一个标准来等分被除数，不能整除时候就按照分数单位来进行等分。

追问

好的，谢谢您老师！

老师你看有这方面除法论述的资料，或者可以在哪里找到的资料，有没有？推荐给我下。谢谢您。

老师您好，我是上次采纳你的回答的老师。还有点问题咨询您，希望您能回复下，谢谢。

就是上次问您的，同类量除法问题。3米÷4米＝四分之三，这个除法算式，确实是按照分数单位在等分被除数3米吗？是不是说明本想按照4米单位量去等分，但是由于被除数3米不够等分成一份，所以就是按照分数单位在等分被除数。所以产生了分数商。

我这边有老师有点疑问，希望您能回复下。万分感谢。

追答

这个问题应该这样理解，在四米的线段上三米只占四分之三。

追问

老师您终于出来了。

确实是只占¾，占比关系，可是这个算式还是在做除法，是吧？除法就是要分，怎么分呢？

您上回提到是按照分数单位等分？

我这边有位北京海淀资深老师有些疑惑，希望您能详细分析下。谢谢您。

追答

你可以这样理解，如果在四米中每一米占一份，即是1/4。三米可以占到三份。

追问

嗯，是这样的，1米占一份，3米占三份。所以是¾。所以再来1米就是四分之四，也就是一份。这个发展的过程，是不是分数单位个单位量的叠加过程。也就是您说的按照分数单位倍在等分被除数。

本题中有÷号，这个÷号的作用怎么体现？

追答

“÷”号两点中间一横，就是平均分配的意思，它可以不同量单位分配，例如3米平均分成4等分，每份为3/4米；也可以同等量单位来分配，例如3米占1/4米的3份。

追问

嗯，这个是对的。3米中有3个¼米。这个用除法毫无疑问。可以按照¼米从3米中分出来，应该是分12份。

3米中有12个¼米

有老师说3米÷4米＝¾，就是相当于3÷4，就是把3平均分成4份。您说这样对吗？

追答

这个老师说的是不同量除法，是3米分成4等分。我们研究的是同等量除法，是3米如果按照4米来分，能占到4米的比例或者3米中 的每一米在4米中占有的长度每一米中都是3/4.

追问

嗯，这是对的。就像刚才您说的÷号就是等分。那么这种除法也是等分。就是按照分数单位在等分，只不过达到不了等分成1份而已？

Answer 3

6÷3=2表示的是把6平均分成3份，每份为2。6是被除数，3是除数，商是2，式子读作6除以3等于2。而3÷6=0.5是把3平均分成6份每份为0.5这时3是被除数，6是除数，商是0.5，读作3除以6等于0.5也可以读作6除3等于0.5。两者就是不同的式子也是不同的含义为什么要把6看成标准

Answer 4

3除6等于3分之6 3÷6= 6/3