什么是确界原理？什么是单调有界原理？什么是柯西准则？

Answer 1

确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数连续性的命题之一。
设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。有界集定义

定义一：设S为R的一个数集。若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。例题：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
[1]
证：显然，任何一个不大于零1的实数都是N+的下界，故N+为有下界的数集。
现在要证N无上界，按照定义，只需证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n0（∈N+），使得n0>M。事实上，对于任何一个正数M（不论这个数是多么的大），总存在一个数N=[M]+1([X]表示不超过X的最大整数)，使得N>M.这就证明了N+无上界。
确界的定义

文字描述：若数集S有上界，显然S有无穷多个上界（因为任何大于有界集S最大的数都是S的上界），其中最小的一个我们将它称为S的上确界（用sup S表示）。同样的有，有下界数集S的最大下界称为该数集的下确界（用inf S表示）。（sup为拉丁文supermun的简写，inf为拉丁文infimun的简写）。
上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足
（i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界；
（ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界；
下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足：
（i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；
（i）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；
确界原理