求下列定积分 0到2π 根号(1-cos2x)dx

Answer 1

∫[0：2π]√(1-cos2x)dx
=∫[0：2π]√(2sin²x)dx (此步用到二倍角公式cos2x=1-2sin²x)
=√2∫[0：π]sinxdx-√2∫[-π：0]sinxdx (分成两个积分区间)
=√2∫[0：π]sinxdx+√2∫[0：π]sinxdx
=2√2∫[0：π]sinxdx
=-2√2cosx|[π：0]
=-2√2(cosπ-cos0)
=-2√2(-1-1)
=4√2

追问

看不太懂范围咋变成负π到0了，还有根号2咋来的？

看不太懂范围咋变成负π到0了，还有根号2咋来的？

看不太懂范围咋变成负π到0了，还有根号2咋来的？

Answer 2

Answer 3

如图所示

追问

可是教材答案是4倍根号2

可是教材答案是4倍根号2

Answer 4

设F(ⅹ)=∫√(1-cos2x)dx
=∫sinxdx
=-cosx+C
∴原式=F(2π)-f(0)=0。