初二几何奥数题

Question

在三角形ABC中。AD.CE平分角ACB和角BAC交点为O已知角B等于60度求证:AC=AE+CD

Answer 1

因为AD平分∠A，所以DE=DF..............................(1)
因为D在BC的垂直平分线上，所以DB=DC..............................(2)
又因为∠DEB=90°，∠DFC=90°..............................(3)
由(1)(2)(3)得
△DEB≌△DFC
所以BE=CF..............................(4)
因为△ADE≌△ADF，
所以AE=AF
即AB-BE=AC+CF
又有(4)得，
AB-BE=AC+BE
所以BE=(AB-AC)/2=(8-4)/2=2
所以AE=AB-BE=8-2=6

Answer 2

在AC上取AG=AE，∠OAE=∠OAG（平分），AO=AO。三角形OAE全等于OAG。 ∠AOE=∠AOG ∠B=60，∠OAG+∠OCG=(180-∠B)/2=60 ∠AOE=∠OAG+∠OCG=60（外角等于不相邻内角和） ∠COD=∠AOE=60（对顶）、∠AOG=60，所以∠COG=180-60-60=60=∠COD ∠OCD=∠OCG（平分），CO=CO。三角形OCG全等于OCD，所以CD=GC AC=AG+GC=AE+CD